施尼勒尔曼密度

設集合$A\subseteq \mathbb{Z}$，$A(n)=|A\cap \{1,2,\dots ,n\}|$，$A$中不大於$n$的元素的數目。施尼勒尔曼密度（Schnirelmann density）函數$\sigma :𝒫(\mathbb{Z})\to [0,1]$，或$A$的施尼勒尔曼密度定義為：

$\underset{n}{\inf }\frac{A_n}{n}$

其中inf表示最大下界。若使用$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{A(n)}{n}$（如自然密度），可能不存在極限，施尼勒尔曼密度的其中一個好處在於它總是有值的。

性質

• $0\le \sigma A\le 1$
• $\mathrm{\forall }nA(n)\ge n\sigma A$
• $\sigma A=1\leftrightarrow A=\mathbb{N}$
• $\mathrm{\forall }kk\notin A\to \sigma A\le 1-1/k$.

特別地

$1\notin A\to \sigma A=0$

$2\notin A\to \sigma A\le 1/2$

• $\sigma A=0\to \mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }nA(n)<ϵn$

曼定理

設${𝔊}^2=\{k^2{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$，拉格朗日四平方和定理可以寫成$\sigma ({𝔊}^2\oplus {𝔊}^2\oplus {𝔊}^2\oplus {𝔊}^2)=1$，其中$A\oplus B$表示$A$和$B$的和集。

顯然，$\sigma {𝔊}^2=0$，另外也有$\sigma ({𝔊}^2\oplus {𝔊}^2)=0$。那麼施尼勒尔曼密度1是怎樣得來的呢？原來$\sigma ({𝔊}^2\oplus {𝔊}^2\oplus {𝔊}^2)=5/6$。儘管只有一、兩個平方數集的和集的密度都是0，但之後和集的施尼勒尔曼密度會慢慢增加。

施尼勒尔曼指出：

$\sigma (A\oplus B)\ge \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B$

Template:Link-en證明了更強的條件：

$\sigma (A\oplus B)\ge \min (\sigma A+\sigma B,1)$