撓子群

Template:Unreferenced 在群論中，一個阿貝爾群 $A$ 的撓子群定義為

$A_T:=\{a\in A:\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},na=0\}$

換言之，即 $A$ 中的有限階元素。根據 $A$ 的交換性可知其為子群，此群有時也記為 $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$。

同理，對任一素數 $p$，可定義 $p$-撓子群：

$A_{T_p}:=\{a\in A:\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},p^{n}a=0\}$

撓子群可以表為 $p$-撓子群之直和：$A_T=\underset{p}{⨁}{A}_{T_p}$。若 $A$ 為有限群，則 $A_{T_p}$ 是其唯一的 $p$-西洛子群。

滿足 $A_T=A$ 的阿貝爾群稱作撓群或週期群。若滿足 $A_T=(0)$，則稱之為無撓群。$A/A_T$ 必無撓。

對於有限生成的阿貝爾群 $A$，$A_T$ 為其直和項，即：存在另一子群（未必唯一）$B\subset A$ 使得 $A=A_T\oplus B$。