大斜方截半二十面体

Template:NoteTA Template:Other uses Template:半正多面體資料表 在幾何學中，大斜方截半二十面體（英語：Great rhombicosidodecahedron）又稱為截角截半二十面體（英語：Truncated icosidodecahedron）是一種半正多面體，由於其具有點可遞的性質，因此屬於阿基米德立體，是十三種由2種以上的正多邊形組成的非柱體幾何圖形之一。

大斜方截半二十面體共有62個面、180條稜和120個頂點，是凸均勻多面體中頂點數最多也是稜數最多的多面體。由於其每個面都具有點對稱性（與180°的旋轉對稱等效），因此是一種環帶多面體。

命名

Template:Multiple image 名稱截角截半二十面體（英語：Truncated icosidodecahedron）最初由约翰内斯·开普勒給出，但這個名稱有歧義，因為直接將截半二十面體透過截角變換的結果，其所形成的四邊形面是一個長方形而不是正方形，然而這個立體圖形在拓樸上與大斜方截半二十面體等價。 大斜方截半二十面體還有幾個不同的名稱： 截角截半二十面體（英語：Truncated icosidodecahedron，由约翰内斯·开普勒命名） 菱形截角截半二十面體 （英語：Rhombitruncated icosidodecahedron，由Template:Link-en命名） 大斜方截半二十面體 （英語：Great rhombicosidodecahedron，由Template:Link-en和Template:Link-en命名）

性質

由30个正方形，20个正六边形和12个正十边形组成，有120个顶点和180条棱。除棱柱和反棱柱以外，如果所有的阿基米德立體具有相同的棱长，大斜方截半二十面体将具有最大的表面积和体积。

尺寸

若一大斜方截半二十面體的邊長為a，則有下列性質：

• 體積與表面積：

  $\begin{array}{cc}A& =30[1+\sqrt{2(4+\sqrt{5}+\sqrt{15+6\sqrt{6}})}]a^2\\ & \approx 175.031045a^2\end{array}$

  $\begin{array}{cc}V& =(95+50\sqrt{5})a^3\approx 206.803399a^3\end{array}$

• 外接球半徑

  $R_1=\frac{a}{2}\sqrt{31+12\sqrt{5}}\approx 3.8023945a$，由此可知，外接球體積為$\frac{4\pi {R_1}^3}{3}$，其值約為$230.28a^3$

• 內切球半徑

  $R_2=\frac{a}{2}\sqrt{25+10\sqrt{5}}\approx 3.4409548a$，由此可知，內切球體積為$\frac{4\pi {R_2}^3}{3}$，其值約為$170.65a^3$

• 面心距
  • 正方形面心距為：$\frac{(3+2\sqrt{5})a}{2}\approx 3.73606798a$
  • 正六邊形面心距為：$\frac{\sqrt{3}(2+\sqrt{5})a}{2}\approx 3.668542a$
  • 正十邊形面心距為：$R_2=\frac{a}{2}\sqrt{25+10\sqrt{5}}\approx 3.44095a$
• 令$\rho$為大斜方截半二十面體的邊心距、十二面體外接球半徑為$b$、正二十面體外接球半徑為$c$，和菱形三十面體長對角線的接球半徑為$d$。 存在下列等式：
  • $\frac{a}{\rho }=\sqrt{2}\frac{\tan 18^{\circ }}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{10-4\sqrt{5}}{15}}$
  • $\frac{a}{R_1}=2\sqrt{\frac{31-12\sqrt{5}}{241}}$
  • $\frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{10}$
  • $\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{5}-1}{6}$
  • $\frac{a}{d}=\frac{7-\sqrt{5}}{22}$

作法

将一个正十二面体（正二十面体）三十条棱都切一刀，在二十（十二）个顶点处也切一刀，但是要切的薄一点，就可以得到一个大斜方截半二十面体。

頂點坐標

在三维笛卡儿坐标系中，以原点为幾何中心，边长2τ－2的大斜方截半二十面体的坐标是以下坐标的全偶排列：

(±Template:Sfrac, ±Template:Sfrac, ±(3 + φ)),

(±Template:Sfrac, ±φ, ±(1 + 2φ)),

(±Template:Sfrac, ±φ², ±(−1 + 3φ)),

(±(2φ − 1), ±2, ±(2 + φ)) and

(±φ, ±3, ±2φ),

其中$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$即黄金分割率

相關多面體與鑲嵌

領結二十面體和領結十二面體的結構可以看做是大斜方截半二十面體的正方形面被分割成兩個梯形

大斜方截半二十面體又稱為截角截半二十面體，是正二十面體截半後再經過特殊的截角變換後的結果，其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有： Template:正二十面体家族

大斜方截半二十面體圖

Template:Infobox graph 在圖論的數學領域中，與大斜方截半二十面體相關的圖為大斜方截半二十面體圖又稱為截角截半二十面體圖，是大斜方截半二十面體之Template:Link-en，是一種Template:Link-en。

性質

大斜方截半二十面體圖與大斜方截半二十面體有相同的拓樸結構，其頂點與邊的數量及結構都與阿基米德立體中的大斜方截半二十面體相同，共有120個頂點和180條邊，是阿基米德圖中，頂點和邊數最多的圖，且是一個位於Template:Link-en和Template:Link-en的阿基米德圖。

施萊格爾圖

3階對稱性

2階對稱性

參見

• 正二十面體
• 正十二面體

參考文獻

1. Cromwell, P.; PolyhedraTemplate:Wayback, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
2. Template:Mathworld、Template:Mathworld
3. Template:KlitzingPolytopes

外部連結

• Template:Mathworld2
  • Template:Mathworld
• Editable printable net of a truncated icosidodecahedron with interactive 3D viewTemplate:Wayback
• The Uniform PolyhedraTemplate:Wayback
• Virtual Reality PolyhedraTemplate:Wayback The Encyclopedia of Polyhedra