截半二十面体

Template:NoteTA Template:半正多面體資料表 在幾何學中，截半二十面體是一種由正五邊形和正三角形組成的三十二面體，是一種阿基米德立體。其每個頂點都是2個三角形和2個五邊形的公共頂點、每條稜都是三角形和五邊形交稜，因此具有每個頂角相等和二面角相等的性質，因此截半二十面體是半正多面體也是擬正多面體。

性質

截半二十面體每個頂點都是2個三角形和2個五邊形的公共頂點，其頂點圖可以用 $3.5.3.5$ 表示，也可以簡寫為 ${(3.5)}^2$ 。

截半二十面體每十條棱可以成為一個正十边形，共有六個獨立的十邊形。而這六個獨立的十邊形也可以獨立地與立體中的三角形或五邊形單獨構成星形多面體。

體積與表面積

邊長為a的截半二十面體的表面積約為$29.3059828a^2$、體積約為$13.8355259a^3$，可由下列算式計算：

$A=(5\sqrt{3}+3\sqrt{5}\sqrt{3+4\varphi })a^2$ $=(5\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}})a^2\approx 29.3059828a^2$

$V=\frac{1}{3}(14+17\varphi )a^3=\frac{1}{6}(45+17\sqrt{5})a^3\approx 13.8355259a^3.$

二面角

截半二十面體是一種稜可遞的多面體，即每個稜、二面角以及組成二面角的兩個面和其他稜的組成都具相同的性質，因此其具有所有二面角相等的性質。截半二十面體的二面角為：

$\arccos (-\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{15}})\approx 142.62^{\circ }$

頂點坐標

邊長為單位長且幾何中心位於原點的截半二十面體，其頂點坐標為：

$(0,0,\pm \phi )$

Template:Nowrap

其中φ是黃金比例，值為$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

作法

將一個正十二面體或正二十面體進行截半變換即可得到一個截半二十面體，因此截半二十面體又稱截半十二面體，即截半與對偶截半等價。

正交投影

截半二十面體有四種具有特殊對稱性的正交投影，分別是頂點為中心、邊為中心、三角形面為中心以及五邊形面為中心。所述後者兩種正交投影，其對稱性對應於A₂ 和 H₂的考克斯特平面。

截半二十面體的正交投影

建立於	頂點	邊	三角形面	五邊形面
圖像
投影對稱性	$\left[2\right]$	$\left[2\right]$	[6]	[10]
對偶圖像

相關多面體及鑲嵌

相關多面體

有八種均勻的星形多面體以及2種複合多面體與截半二十面體有著相同的頂點排佈：

原始形狀	星形	截半二十面體	小二十面半十二面體	小十二面半十二面體
Template:Nowrap		大截半二十面體	大十二面半十二面體	大二十面半十二面體
		十二合十二面體	小十二面半二十面體	大十二面半二十面體
複合多面體		五複合正八面體	Template:Link-en

截半二十面體是正二十面體經過截半變換後的結果，其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有： Template:正二十面体家族

參見

• 正十二面體
• 正二十面體

外部連結

• Template:Mathworld2
• Template:KlitzingPolytopes
• Editable printable net of an icosidodecahedron with interactive 3D view Template:Wayback
• The Uniform Polyhedra Template:Wayback
• Virtual Reality Polyhedra Template:Wayback The Encyclopedia of Polyhedra