正交补

Template:NoteTA 在线性代数和泛函分析的数学领域中，内积空间 V 的子空间 W 的正交补（Template:Lang-en） $W^{\mathrm{\perp }}$ 是正交于 W 中所有向量的所有 V 中向量的集合，也就是

$W^{\mathrm{\perp }}=\{x\in V:\mathrm{\forall }y\in W,⟨x,y⟩=0\}.$

正交补总是闭合在度量拓扑下。在希尔伯特空间中，W 的正交补的正交补是 W 的闭包，就是说

$W^{\mathrm{\perp }\mathrm{\perp }}=\bar{W}.$

如果 A 是 $m\times n$ 矩阵，而 $\text{Row }A$, $\text{Col }A$ 和 $\text{Nul }A$ 分别指称列空间、行空间和零空间，则有

$(\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{w}A{)}^{\mathrm{\perp }}=\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{l}A$

和

$(\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{l}A{)}^{\mathrm{\perp }}=\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{l}{A}^T$

巴拿赫空间

在一般的巴拿赫空间中有自然的类似物。在这种情况下类似的定义 W 的正交补为 V 的对偶的子空间

$W^{\mathrm{\perp }}=\{x\in V^{*}:\mathrm{\forall }y\in W,x(y)=0\}.$

它总是 $V^{*}$ 的闭合子空间。它也有类似的双重补性质。$W^{\mathrm{\perp }\mathrm{\perp }}$ 现在是 ${V^{*}}^{*}$ 的子空间(它同一于 $V$)。但是自反空间有在 $V$ 和 ${V^{*}}^{*}$ 之间的自然同构 $i$。在这种情况下我们有

$i\bar{W}=W^{\mathrm{\perp }\mathrm{\perp }}.$

这是哈恩-巴拿赫定理的直接推论。