轴角

旋转的轴角表示用两个值参数化了旋转: 一个轴或直线，和描述绕这个轴的旋转量的一个角。它也叫做旋转的指数坐标。

有时也叫做旋转向量表示，因为这两个参数(轴和角)可用在这个轴上的其模是旋转角的一个向量来表示。

用途

轴角表示在处理刚体动力学的时候是方便的。它对特征化旋转还有在刚体运动的不同表示之间的转换是有用的。

假如你站在地面上，选取重力的方向为负 z 方向。如果你左转，你将绕 z 轴旋转 $\frac{π}{2}$ 弧度 (或 90 度)。在轴角表示中，这将是

⟨ a x i s, a n g l e ⟩ = ([\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}], θ) = ([\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}], \frac{π}{2})

这可以表示为指示 z 方向的模为 $\frac{π}{2}$ 的旋转向量。

[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \frac{π}{2} \end{matrix}]

表示旋转有很多方式。理解它们相互之间的区别和如何转换是重要的。

从旋转的轴角表示到旋转矩阵的变换使用指数映射。

\exp : s o (3) \to S O (3)

本质上说，通过使用泰勒展开，你可以得出在这两种表示之间的闭合形式的关系。给出一个轴 $ω \in ℝ^{3}$ 和角 $θ \in ℝ$ ，等价的旋转矩阵给出为:

R = \exp (\hat{ω} θ) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(\hat{ω} θ)^{k}}{k!} = I + \hat{ω} θ + \frac{1}{2} (\hat{ω} θ)^{2} + \frac{1}{6} (\hat{ω} θ)^{3} + \dots

R = I + \hat{ω} (θ - \frac{θ^{3}}{3!} + \frac{θ^{5}}{5!} - \dots) + {\hat{ω}}^{2} (\frac{θ^{2}}{2!} - \frac{θ^{4}}{4!} + \frac{θ^{6}}{6!} - \dots)

R = I + \hat{ω} \sin (θ) + {\hat{ω}}^{2} (1 - \cos (θ))

这里的 R 是 3x3 旋转矩阵而帽算子给出与叉积被乘数对应的反对称矩阵算符。

要获得旋转矩阵的轴角表示，计算旋转的角

θ = \arccos (\frac{t r a c e (R) - 1}{2})

并接着使用它来找到轴

ω = \frac{1}{2 \sin (θ)} [\begin{matrix} R (3, 2) - R (2, 3) \\ R (1, 3) - R (3, 1) \\ R (2, 1) - R (1, 2) \end{matrix}]

要从轴角坐标变换到四元数使用下列表达式:

𝐪 = (\cos \frac{θ}{2}, ω \sin \frac{θ}{2})

给出一个单位四元数 Template:Math，提取轴角坐标可以使用下列表达式:

θ = 2 \arccos (r)

ω = {\begin{matrix} \frac{𝐯}{\sin \frac{θ}{2}}, & i f θ \neq 0 \\ 0, & o t h e r w i s e \end{matrix}