系统F

系统F，也叫做多态lambda演算或二阶lambda演算，是有类型lambda演算。它由逻辑学家Template:Link-en和计算机科学家Template:Link-en独立发现的。系统F形式化了编程语言中的参数多态的概念。

正如同lambda演算有取值于（range over）函数的变量，和来自它们的粘合子（binder）；二阶lambda演算取值自类型，和来自它们的粘合子。

作为一个例子，恒等函数有形如A→ A的任何类型的事实可以在系统F中被形式化为判断

$⊢\mathrm{\Lambda }\alpha .\lambda x^{\alpha }.x:\mathrm{\forall }\alpha .\alpha \to \alpha$

这里的α是Template:Link-en。

在Curry-Howard同构下，系统F对应于二阶逻辑。

系统F，和甚至更加有表达力的lambda演算一起，可被看作Lambda立方体的一部分。

逻辑和谓词

布尔类型被定义为： $\mathrm{\forall }\alpha .\alpha \to \alpha \to \alpha$，这里的α是类型变量。这产生了下列对布尔值TRUE和FALSE的两个定义：

TRUE := $\mathrm{\Lambda }\alpha .\lambda x^{\alpha }\lambda y^{\alpha }.x$

FALSE := $\mathrm{\Lambda }\alpha .\lambda x^{\alpha }\lambda y^{\alpha }.y$

接着，通过这两个λ-项，我们可以定义一些逻辑算子：

AND := $\lambda x^{Boolean}\lambda y^{Boolean}.((x(Boolean))y)FALSE$

OR := $\lambda x^{Boolean}\lambda y^{Boolean}.((x(Boolean))TRUE)y$

NOT := $\lambda x^{Boolean}.((x(Boolean))FALSE)TRUE$

实际上不需要IFTHENELSE函数，因为你可以只使用原始布尔类型的项作为判定（decision）函数。但是如果需要一个的话：

IFTHENELSE := $\mathrm{\Lambda }\alpha .\lambda x^{Boolean}\lambda y^{\alpha }\lambda z^{\alpha }.((x(\alpha ))y)z$

谓词是返回布尔值的函数。最基本的谓词是ISZERO，它返回TRUE当且仅当它的参数是邱奇数 0:

ISZERO := λ n. n (λ x. FALSE) TRUE

系统F结构

系统F允许以同Martin-Löf类型论有关的自然的方式嵌入递归构造。抽象结构（S）是使用构造子建立的。有函数被定类型为：

$K_1\to K_2\to \dots \to S$

当$S$自身出现类型$K_i$中的一个内的时候递归就出现了。如果你有$m$个这种构造子，你可以定义$S$为：

$\mathrm{\forall }\alpha .(K_1^1[\alpha /S]\to \dots \to \alpha )\dots \to (K_1^m[\alpha /S]\to \dots \to \alpha )\to \alpha$

例如，自然数可以被定义为使用构造子的归纳数据类型$N$

$𝑧𝑒𝑟𝑜:\mathrm{N}$

$𝑠𝑢𝑐𝑐:\mathrm{N}\to \mathrm{N}$

对应于这个结构的系统F类型是 $\mathrm{\forall }\alpha .\alpha \to (\alpha \to \alpha )\to \alpha$。这个类型的项由有类型版本的邱奇数构成，前几个是：

0 := $\mathrm{\Lambda }\alpha .\lambda x^{\alpha }.\lambda f^{\alpha \to \alpha }.x$

1 := $\mathrm{\Lambda }\alpha .\lambda x^{\alpha }.\lambda f^{\alpha \to \alpha }.fx$

2 := $\mathrm{\Lambda }\alpha .\lambda x^{\alpha }.\lambda f^{\alpha \to \alpha }.f(fx)$

3 := $\mathrm{\Lambda }\alpha .\lambda x^{\alpha }.\lambda f^{\alpha \to \alpha }.f(f(fx))$

如果我们反转curried参数的次序（比如$\mathrm{\forall }\alpha .(\alpha \to \alpha )\to \alpha \to \alpha$），则$n$的邱奇数是接受函数f作为参数并返回f的n次幂的函数。就是说，邱奇数是一个高阶函数 -- 它接受一个单一参数函数f，并返回另一个单一参数函数。

用在编程语言中

本文用的系统F版本是显式类型的，或邱奇风格的演算。包含在λ-项内的类型信息使类型检查直接了当。Joe Wells（1994）设立了一个"难为人的公开问题"，证明系统 F的Curry-风格的变体是不可判定的，它缺乏明显的类型提示。[1] [2]

Wells的结果暗含着系统F的类型推论是不可能的。一个限制版本的系统F叫做"Hindley-Milner"，或简称"HM"，有一个容易的类型推论算法，并用于了很多强类型的函数式编程语言，比如Haskell和ML。

参考文献

• Girard, Lafont and Taylor, 1997. Proofs and Types. Cambridge University Press.
• J. B. Wells. "Typability and type checking in the second-order lambda-calculus are equivalent and undecidable." In Proceedings of the 9th Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science (LICS), pages 176-185, 1994. [3] Template:Wayback

外部链接

• Summary of System F Template:Wayback by Franck Binard.