毕奥-萨伐尔定律

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让-巴蒂斯特·毕奥

在靜磁學裏，必歐-沙伐定律（-{Biot-Savart Law}-）以方程式描述，電流在其周圍所產生的磁場。採用靜磁近似，當電流緩慢地隨時間而改變時（例如當載流導線緩慢地移動時），這定律成立，磁場與電流的大小、方向、距離有關。必歐-沙伐定律是以法國物理學者让-巴蒂斯特·毕奥與菲利克斯·沙伐命名。

必歐-沙伐定律表明，假設源位置為${𝐫}^{\prime }$的微小線元素$\mathrm{d}{\mathit{\ell }}^{\prime }$有電流$I$，則$\mathrm{d}{\mathit{\ell }}^{\prime }$作用於場位置$𝐫$的磁場為

$\mathrm{d}𝐁=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\mathrm{d}{\mathit{\ell }}^{\prime }\times \frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}$；

其中，$\mathrm{d}𝐁$是微小磁場（這篇文章簡稱磁通量密度為磁場），${\mu }_0$是磁常數。

已知電流密度$𝐉({𝐫}^{\prime })$，則有：

$𝐁(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }𝐉({𝐫}^{\prime })\times \frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }$；

其中，${\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }$為微小體積元素，${𝕍}^{\prime }$是積分的體積。

在流体力学中，以渦度對應電流、速度對應磁場強度，便可應用必歐-沙伐定律以計算渦線（Template:Lang）導出的速度。

概念

必歐-沙伐定律適用於計算一個穩定電流所產生的磁場。這電流是連續流過一條導線的電荷，電流量不隨時間而改變，電荷不會在任意位置累積或消失。採用國際單位制，用方程式表示，

$𝐁(𝐫)=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\underset{{𝕃}^{\prime }}{\int }\mathrm{d}{\mathit{\ell }}^{\prime }\times \frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}$；

其中，$I$是源電流，${𝕃}^{\prime }$是積分路徑，$\mathrm{d}{\mathit{\ell }}^{\prime }$是源電流的微小線元素。

應用這方程式，必須先選出磁場的場位置。固定這場位置，積分於源電流的路徑，就可以計算出在場位置的磁場。請注意，這定律的應用，隱性地依賴著磁場的疊加原理成立；也就是說，每一個微小線段的電流所產生的磁場，其向量的疊加和給出總磁場。對於電場和磁場，疊加原理成立，因為它們是一組線性微分方程式的解答。更明確地說，它們是馬克士威方程組的解答。

當電流可以近似為流過無窮細狹導線，上述這方程式是正確的。但假若導線是寬厚的，則可用包含導線體積${𝕍}^{\prime }$的積分方程式：

$𝐁(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }𝐉({𝐫}^{\prime })\times \frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }$；

其中，$𝐉$是電流密度，${\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }$是微小體積元素。

必歐-沙伐定律是靜磁學的基本定律，在靜磁學的地位，類同於庫侖定律之於靜電學。必歐-沙伐定律和安培定律的關係，則如庫侖定律之於高斯定律。

假若無法採用靜磁近似，例如當電流隨著時間變化太快，或當導線快速地移動時，就不能使用必歐-沙伐定律，必須改用傑斐緬柯方程式。

等速運動的點電荷所產生的電場和磁場

由於點電荷的運動不能形成電流，所以，必須使用推遲勢的方法來計算其電場和磁場。假設一個點電荷$q$以等速度$𝐯$移動，在時間$t$的位置為$𝐰=𝐯t$。那麼，麦克斯韦方程組給出此點電荷所產生的電場和磁場：

$𝐄=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0}\frac{1-v^2/c^2}{(1-v^2{\sin }^2\theta /c^2{)}^{3/2}}\frac{𝐫-𝐰}{|𝐫-𝐰{|}^3}$、

$𝐁=𝐯\times \frac{1}{c^2}𝐄$；

其中，$\theta$是$𝐯$和$𝐫-𝐰$之間的夾角。

當$v^2\ll c^2$時，電場和磁場可以近似為

$𝐄=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0}\frac{𝐫-𝐰}{|𝐫-𝐰{|}^3}$、

$𝐁=\frac{{\mu }_{0}q𝐯}{4\pi }\times \frac{𝐫-𝐰}{|𝐫-𝐰{|}^3}$。

這方程式最先由奧利弗·黑維塞於1888年推導出來，稱為必歐-沙伐點電荷定律。

安培定律和高斯磁定律的導引

這裏，我們要從必歐-沙伐定律推導出安培定律和高斯磁定律。若想查閱此證明，請點選「顯示」。

證明必歐-沙伐定律所計算出來的磁場，永遠滿足高斯磁定律：

首先，列出必歐-沙伐定律， $𝐁(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }𝐉({𝐫}^{\prime })\times \frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}$。 應用一個向量恆等式， $\frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}=-\mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\right)$， 將這恆等式帶入必歐-沙伐方程式。由於梯度只作用於無單撇號的坐標，可以將梯度移到積分外： $𝐁(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\mathrm{\nabla }\times \underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }\frac{𝐉({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}$。 應用一個向量恆等式， $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0$。 所以，高斯磁定律成立： $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$。

證明必歐-沙伐定律所計算出來的磁場，永遠滿足安培定律：

首先，列出必歐-沙伐定律： $𝐁(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }𝐉({𝐫}^{\prime })\times \frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}$。 任意兩個向量${𝐀}_1$和${𝐀}_2$的叉積，取其旋度，有以下向量恆等式，： $\mathrm{\nabla }\times ({𝐀}_1\times {𝐀}_2)=({𝐀}_2\cdot \mathrm{\nabla }){𝐀}_1-({𝐀}_1\cdot \mathrm{\nabla }){𝐀}_2+{𝐀}_1(\mathrm{\nabla }\cdot {𝐀}_2)-{𝐀}_2(\mathrm{\nabla }\cdot {𝐀}_1)$， 取旋度於必歐-沙伐方程式的兩邊，稍加運算，可以得到 $\mathrm{\nabla }\times 𝐁(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }\{-[𝐉({𝐫}^{\prime })\cdot \mathrm{\nabla }]\frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}+𝐉({𝐫}^{\prime })[\mathrm{\nabla }\cdot \frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}]\}$。 應用著名的狄拉克δ函數關係式 $\mathrm{\nabla }\cdot \frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}=4\pi \delta (𝐫-{𝐫}^{\prime })$， 可以得到 $\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\times 𝐁(𝐫)& ={\mu }_0𝐉(𝐫)+\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }\{-[𝐉({𝐫}^{\prime })\cdot \mathrm{\nabla }]\frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}\}\\ & ={\mu }_0𝐉(𝐫)+\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }\{[𝐉({𝐫}^{\prime })\cdot {\mathrm{\nabla }}^{\prime }]\frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}\}\\ \end{array}$。 注意到x-分量， $[𝐉({𝐫}^{\prime })\cdot {\mathrm{\nabla }}^{\prime }]\frac{x-x^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}={\mathrm{\nabla }}^{\prime }\cdot [𝐉({𝐫}^{\prime })\frac{x-x^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}]-\frac{x-x^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\cdot 𝐉({𝐫}^{\prime })$。 由於電流是穩定的，${\mathrm{\nabla }}^{\text{'}}\cdot 𝐉({𝐫}^{\prime })=0$，所以， $\begin{array}{cc}(\mathrm{\nabla }\times 𝐁(𝐫){)}_x& ={\mu }_0{J}_x(𝐫)+\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\cdot (𝐉({𝐫}^{\prime })\frac{x-x^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3})\\ & ={\mu }_0{J}_x(𝐫)+\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\oint }_{{𝕊}^{\prime }}\mathrm{d}{𝐚}^{\prime }\cdot 𝐉({𝐫}^{\prime })\frac{x-x^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}\\ \end{array}$； 其中，$\mathrm{d}{𝐚}^{\prime }$是一個微小源面積元素，${𝕊}^{\prime }$是體積${𝕍}^{\prime }$外表的閉曲面。 這個公式右邊第二項目是一個閉曲面積分，只與體積内所包含的被積函數，或體積外表曲面的電流密度有關。而體積可大可小，我們可以增大這體積，一直增大到外表的閉曲面沒有任何淨電流流出或流入，也就是說，電流密度等於零。這樣，就可以得到安培定律。 $\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐉$。

參閱

• 狹義相對論
• 向量分析
• 散度定理
• 安培律

參考文獻

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