反演

一點的反演

過O圓的反演

圓的反演

反演是種幾何變換。給定點$O$、常數$k$，點$P$的變換對應點就是在以$O$開始的射線$\overrightarrow{OP}$上的一點$P^{\prime }$使得$\overline{OP}\cdot \overline{O{P}^{\prime }}=k^2$。

反演的結果：

• 過$O$的直線：直線
• 過$O$的圓：不過$O$的直線
• 不過$O$的圓：圓
• 過$O$的球：不過$O$的平面

對於點$x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，以原點為中心，在直角坐標系的反演變換可寫成

$x_i\to \frac{k^2{x}_i}{\sum _j{x}_j^2}$

以下都可視為反演：

• 立體投影法：可以取球面上任意一點為中心，球的直徑為$k$。
• 共軸圓：在平面取一系列共心圓，取一系列經過共心圓圓心的線，任意取一點為中心進行反演。

阿波羅尼奧斯問題

Template:Main 阿波罗尼奥斯圆是其中一個可用反演變換輕易解決的問題。在平面給定三個圓，求作出與三圓相切的第四個圓。

参见

• 反射
• 旋转
• 平移
• 点反演
• 缩放