李雅普诺夫稳定性

當啟始點在區域V內，而軌跡均維持在區域U內（在$x_0$ 附近），則系統在$x_0$處為李雅普诺夫稳定

在数学和自动控制领域中，李雅普诺夫稳定性（Template:Lang-en，或李亞普诺夫稳定性）可用來描述一個动力系统的穩定性。如果此动力系统任何初始條件在 $x_0$ 附近的軌跡均能維持在 $x_0$ 附近，那么该系统可以称为在$x_0$處李雅普诺夫稳定。

若任何初始條件在 $x_0$ 附近的軌跡最後都趨近$x_0$，那么该系统可以称为在$x_0$處漸近稳定。指數穩定可用來保證系統最小的衰減速率，也可以估計軌跡收斂的快慢。

李雅普诺夫稳定性可用在線性及非線性的系統中。不過線性系統的穩定性可由其他方式求得，因此李雅普诺夫稳定性多半用來分析非線性系統的穩定性。李亞普诺夫稳定性的概念可以延伸到無限維的流形，即為Template:Le，是考慮微分方程中一群不同但「接近」的解的行為。輸入-狀態穩定性（ISS）則是將李雅普诺夫稳定性應用在有輸入的系統。

历史

这一稳定性以俄国数学家亚历山大·李亚普诺夫命名，他在1892年发表了他的博士论文《运动稳定性的一般问题》，文中给出了稳定性的科学概念、研究方法和相关理论。李雅普诺夫考慮到針對非线性系统修改稳定理论，修正為以一個稳定点线性化的系統為基礎的线性稳定理论。他的作品最初以俄文发行，后翻译为法文，但多年来默默无闻。人们对它的兴趣突然在冷战初期（1953至1962年）开始，因当所谓的“李雅普诺夫第二方法”被认为适用于航空航天制导系统的稳定性，而这系统通常包含很强的非线性，其他方法并不适用。大量的相关出版物自那时起开始出现，并进入控制系统文献中。最近Template:来源请求李雅普诺夫指数的概念（与李雅普诺夫稳定性第一种方法）引起了广泛兴趣，并与混沌理论结合了起来。

連續時間系統下的定義

给定一个完备的賦範向量空間Template:Mvar（例如${ℝ}^n$），设Template:Mvar是Template:Mvar的開子集。考慮一個自治的非线性动力系统：

$\dot{x}=f(x(t)),x(t_0)=x_0$,

其中$x(t)\in U$是系統的狀態向量，$f:U\to E$是Template:Mvar上的连续函数。

假设函数Template:Mvar有一个零点：Template:Math0，则常数函数：Template:Mvar是动力系统的驻定解（或称平衡解）。称Template:Mvar是动力系统的平衡點。

1. 称點Template:Mvar李雅普诺夫稳定（简称稳定），如果對每個$ϵ>0$，均存在$\delta =\delta (ϵ)>0$，使得对所有满足$\Vert x_0-a\Vert <\delta$的$x_0$，只要$t⩾t_0$，就有$\Vert x(t)-a\Vert <ϵ$。
2. 称點Template:Mvar漸近稳定，如果點Template:Mvar李雅普诺夫稳定，且存在$\delta >0$，使得对所有满足 $\Vert x_0-a\Vert <\delta$ 的$x_0$，$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }x(t)=a$。
3. 称點Template:Mvar指數稳定，如果點Template:Mvar漸近稳定，且存在 $\alpha ,\beta ,\delta >0$ 使得对所有满足$\Vert x_0-a\Vert <\delta$的$x_0$，只要$t⩾t_0$，就有$\Vert x(t)-a\Vert \le \alpha \Vert x_0-a\Vert e^{-\beta t}$。

它们的直观几何意义是：

1. 平衡點為李雅普诺夫稳定的，表示若动力系统状态函数（微分方程的解函数）的初值「足夠接近」平衡點，則它會永遠維持在平衡點附近任意小的范围里（距平衡點的距離不超過任意选择的正实数 $ϵ$）。
2. 漸近稳定的意思是，初值足夠接近平衡點的状态函数，不但維持在平衡點附近，而且最後會收敛到平衡點。
3. 指數稳定的意思是，状态函数不但最後會收敛到平衡點，且收敛速度不慢於某种指数递减的速度。

设有状态函数Template:Mvar，其初始取值为$x(t_0)=x_0$。称$\overline{x}=\{x(t);t⩾t_0\}$为Template:Mvar的轨迹。如果對所有初始值与Template:Mvar足够接近的状态函数Template:Mvar，两者的轨迹会趋于相同：

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert y(t)-x(t)\Vert ⟶0.$

则称Template:Mvar的轨迹有（局部）吸引性（attractive）。若上述條件對所有Template:Mvar均成立，則称Template:Mvar有全局吸引性（globally attractive）。

如果Template:Mvar的轨迹有吸引性，并且穩定，则Template:Mvar漸近稳定。不過，Template:Mvar有吸引性不表示它的轨迹漸近稳定。

迭代系統下的定義

離散時間系統下穩定性的定義和連續時間系統下的定義幾乎相同。以下為其定義，不過使用的是較多數學書籍上使用的定義。

给定度量空間$(X,d)$。设$f:X\to X$為一連續函數。稱點$a\in X$為李雅普诺夫稳定，如果對任意$ϵ>0$，都存在$\delta >0$，使得只要$x\in X$满足$d(x,a)<\delta$，就有

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},d(f^n(x),f^n(a))<ϵ.$

稱點Template:Mvar漸近穩定，如果Template:Mvar是李雅普诺夫稳定的点，而且在稳定点集合的内部，即存在$\delta >0$，使得只要$x\in X$满足$d(x,a)<\delta$，就有

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }d(f^n(x),f^n(a))=0$

李雅普诺夫穩定性理論

對於微分方程解之穩定性的研究稱為穩定性理論。而李雅普诺夫穩定性定理只提供了穩定性的充份條件。

李雅普诺夫穩定性第二定理

考慮一個函數 V(x) : Rⁿ → R 使得

• $V(x)\ge 0$ 只有在 $x=0$ 處等號成立（正定函數）
• $\dot{V}(x(t))<0$ （負定）

則V(x)稱為李雅普诺夫候選函數（Lyapunov function candidate），且系統（依李雅普诺夫的觀點）為漸近穩定。

上式中 $V(0)=0$ 是必要的條件。否則，$V(x)=1/(1+|x|)$可以用來「證明」 $\dot{x}(t)=x$有區域性穩定。另一個稱為徑向無界性（radial unboundedness）的條件則是用來得到全域漸近穩定的結果。

此種分析方式可類比為考慮一物理系統（如彈簧及質量的系統）及其中的能量。若系統能量隨時間遞減，且減少的能量不會恢復，而此系統最後一定會靜止於某個特定的狀態。最後的狀態稱為吸引子。不過針對一個物理系統，找到表達其精確能量的函數不一定容易，而且針對抽象數學系統、經濟系統或生物系統，上述能量的概念又不一定適用。

利用李雅普诺夫的分析方式，可在不知道系統實際能量的情形下，證明系統的穩定性。不過前提是可以找到滿足上述限制的李雅普诺夫函數。

例如考慮以下的系統

$\dot{x}=-x^3$

希望用李雅普诺夫函數來確認$x=0$附近的穩定性。令

$V(x)=0.5x^2$

$V(x)$本身為正定函數．而V(x)的導函數如下

$\dot{V}(x(t))=\frac{\partial V}{\partial x}(-x^3)=-x^4$

為負定函數，因此上述系統在$x=0$附近為漸近穩定。

線性系統狀態空間模型的穩定性

一個線性的狀態空間模型

$\dot{\mathbf{\text{x}}}=A\mathbf{\text{x}}$

為漸近穩定（其實是指數穩定），若

$A^{T}M+MA+N=0$

的解存在。

其中 $N=N^T>0$ 且 $M=M^T>0$ （正定矩陣）。（對應的李雅普诺夫函數為$V(x)=x^{T}Mx$）

有輸入值系統的穩定性

一個有輸入（或受控制）的系統可以下式表示

$\dot{\mathbf{\text{x}}}=\mathbf{\text{f(x,u)}}$

其中輸入 u(t) 可視為控制、外部輸入、擾動、刺激或外力。這種系統的研究是控制理論研究的主題之一，也應用在控制工程中。

對於有輸入的系統，需量化輸入對系統穩定性的影響。在線性系統中會用BIBO穩定性來作分析的工具，在非線性系統中則會使用輸入-狀態穩定性。

相關條目

• 李亞普諾夫函數
• 摄动理论
• 拉薩爾不變集原理

參考資料

• Template:Planetmath

外部連結

• Lyapunov A.M. Stability of motion, Academic Press, New-York and London,1966
• Template:Cite journal
• -{R|https://web.archive.org/web/20090703102428/http://www.mne.ksu.edu/research/laboratories/non-linear-controls-lab}-