丟番圖集

若有一些整係數多項式$f(n_1,...,n_j,x_1,...,x_k)$，存在整數$x_1,...,x_k$使得$f(n_1,...,n_j,x_1,...,x_k)=0$（一個丟番圖方程）若且唯若整數多元組$(n_1,...,n_j)$屬於集$S$，則稱$S$為丟番圖集。這可以寫成

$S=\{(n_1,\dots ,n_j):\mathrm{\exists }{x}_1\dots \mathrm{\exists }{x}_{k}f(n_1,\dots ,n_j,x_1,\dots ,x_k)=0\}$，其中f是整係數多項式。

因為拉格朗日四平方和定理，可以將上述定義中的「整數」限制為「非負整數」。

例如：因為若$n,x$是正整數， $(n^2-xn-x^2{)}^2-1=0$成立時，$n$必是斐波那契數，因此所有斐波那契數的集是丟番圖集。

1970年，馬蒂雅謝維奇定理被證明。它說明一個集是丟番圖集若且唯若它是遞歸可枚舉集合，解決了希爾伯特第十問題。

有許多集都可以表示為丟番圖集，包括質數集[1]Template:Wayback。

若有函數$f:{\mathbb{Z}}^j\to \mathbb{Z}$，使得 $\{(n_1,...,n_j,f(n_1,...,n_j)):\mathrm{\forall }{n}_i\in \mathbb{Z}\}$ 為丟番圖集，則稱$f$為丟番圖函數。