时不变系统

Template:NoteTA 非時變系統是输出不會直接隨著时间变化的系统。

如果输入信号$x(t)$产生输出$y(t)$，那么对于任意时间延遲的输入$x(t+\delta )$将得到相同时间延遲的输出$y(t+\delta )$。

如果系统的传递函数不是时间的函数，就可以满足这个特性。这个特性也可以用示意图的术语进行描述

如果一个系统是时不变的，那么系统框图与任意延时时刻的框图都是可以互换的。

简单例子

为了表明如何确定系统是时不变系统，以下來看两个系统：

• 系统A：$y(t)=tx(t)$
• 系统B：$y(t)=10\cdot x(t)$

由于系统A除了$x(t)$与$y(t)$之外还显式地依赖于t所以它是时变系统，而系统B没有显式地依赖于时间t所以它是时不变的。

正式例子

下面将给出系统A和B更加正式的证明。为了完成这个证明，我们需要使用第二个定义。

系统A：

使用延时的信号作为输入$x_d(t)=x(t+\delta )$

$y(t)=t{x}_d(t)$

$y_1(t)=t{x}_d(t)=tx(t+\delta )$

那么输出延时$\delta$

$y(t)=t{x}_d(t)$

$y_2(t)=y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )$

很显然$y_1(t)\ne y_2(t)$，所以系统是时变系统（time-varying）。

系统B:

以延时的信号作为输入$x_d(t)=x(t+\delta )$

$y(t)=10x_d(t)$

$y_1(t)=10x_d(t)=10x(t+\delta )$

现在输出延时$\delta$

$y(t)=10x_d(t)$

$y_2(t)=y(t+\delta )=10x(t+\delta )$

显然$y_1(t)=y_2(t)$，所以系统是非時變（time-invariant）的。尽管有其它方法可以证明这一点，但这是最容易的方法。

抽象例子

我们用${𝕋}_r$表示移位算子，其中$r$是矢量变址组需要移位的数值，例如“前进1步”的系统

$x(t+1)=\delta (t+1)*x(t)$

可以用这个抽象表示

${\tilde{x}}_1={𝕋}_1\tilde{x}$

其中$\tilde{x}$是

$\tilde{x}=x(t)\mathrm{\forall }t\in ℝ$

以及产生系统移位输出

${\tilde{x}}_1=x(t+1)\mathrm{\forall }t\in ℝ$

所定义的函数，这样${𝕋}_1$就是输入矢量增加1的算子。

假设我们用算子$ℍ$表示一个系统，如果系统与移位算子是可交换的，那么它就是时不变的，例如

${𝕋}_rℍ=ℍ{𝕋}_r\mathrm{\forall }r$

如果系统方程是

$\tilde{y}=ℍ\tilde{x}$

并且如果我们可以将系统算子$ℍ$首先对$\tilde{x}$进行运算，然后再用移位算子${𝕋}_r$进行运算，或者首先用移位算子${𝕋}_r$，然后再用系统算子$ℍ$进行运算，并且这两种方法的结果等价，那么系统就是时不变的。

首先用系统算子进行运算将得到

${𝕋}_rℍ\tilde{x}={𝕋}_r\tilde{y}={\tilde{y}}_r$

首先用移位算子将得到

$ℍ{𝕋}_r\tilde{x}=ℍ{\tilde{x}}_r$

如果系统是时不变的，那么

$ℍ{\tilde{x}}_r={\tilde{y}}_r$

参见

• 有限脉冲响应
• 线性时不变系统理论
• Template:Le
• 状态空间
• 系统分析
• 時變系統
• 平移不變系統