常微分方程

在数学分析中，常微分方程（Template:Lang-en，簡稱Template:Lang）是未知函数只含有一个自变量的微分方程。对于微积分的基本概念，请参见微积分、微分学、积分学等条目。

很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移$s$和时间$t$的关系就可以表示为如下常微分方程：

$m\frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{d}{t}^2}=f(s)$；

其中$m$是物体的质量，$f(s)$是物体所受的力，是位移的函数。所要求解的未知函数是位移$s$，它只以时间$t$为自变量。

精确解总结

一些微分方程有精确封闭形式的解，这里给出几个重要的类型。

在下表中，$P(x),Q(x);P(y),Q(y)$和$M(x,y),N(x,y)$是任意关于$x,y$的可积函数，$b,c$是给定的实常数，$C,C_1,C_2\dots$是任意常数（一般为复数）。这些微分方程的等价或替代形式通过积分可以得到解。

在积分解中，$\lambda$和$ϵ$是积分变量（求和下标的连续形式），记号${\int }^{x}F(\lambda )\mathrm{d}\lambda$只表示$F(\lambda )$对$\lambda$积分，在积分以后$\lambda =x$替换，无需加常数（明确说明）。

微分方程	解法	通解
可分离微分方程
一阶，变量$x$和$y$均可分离（一般情况,下面有特殊情况） $P_1(x)Q_1(y)+P_2(x)Q_2(y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$ $P_1(x)Q_1(y)\mathrm{d}x+P_2(x)Q_2(y)\mathrm{d}y=0$	分离变量（除以$P_2{Q}_1$）。	${\int }^x\frac{P_1(\lambda )}{P_2(\lambda )}\mathrm{d}\lambda +{\int }^y\frac{Q_2(\lambda )}{Q_1(\lambda )}\mathrm{d}\lambda =C$
一阶，变量$x$可分离 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=F(x)$ $\mathrm{d}y=F(x)\mathrm{d}x$	直接积分。	$y={\int }^{x}F(\lambda )\mathrm{d}\lambda +C$
一阶自治，变量$y$可分离 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=F(y)$ $\mathrm{d}y=F(y)\mathrm{d}x$	分离变量（除以$F$）。	$x={\int }^y\frac{\mathrm{d}\lambda }{F(\lambda )}+C$
一阶，变量$x$和$y$均可分离 $P(y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Q(x)=0$ $P(y)\mathrm{d}y+Q(x)\mathrm{d}x=0$	整个积分。	${\int }^{y}P(\lambda )\mathrm{d}\lambda +{\int }^{x}Q(\lambda )\mathrm{d}\lambda =C$
一般一阶微分方程
一阶，齐次 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=F\left(\frac{y}{x}\right)$	令$y=ux$，然后通过分离变量$u$和$x$求解。	$\ln (Cx)={\int }^{\frac{y}{x}}\frac{\mathrm{d}\lambda }{F(\lambda )-\lambda }$
一阶，可分离变量 $yM(xy)+xN(xy)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$ $yM(xy)\mathrm{d}x+xN(xy)\mathrm{d}y=0$	分离变量（除以$xy$）。	$\ln (Cx)={\int }^{xy}\frac{N(\lambda )\mathrm{d}\lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}$ 如果$N=M$,解为$xy=C$。
正合微分，一阶 $M(x,y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+N(x,y)=0$ $M(x,y)\mathrm{d}y+N(x,y)\mathrm{d}x=0$ 其中$\frac{\partial M}{\partial x}=\frac{\partial N}{\partial y}$	全部積分	$\begin{array}{cc}F(x,y)& ={\int }^{y}M(x,\lambda )\mathrm{d}\lambda +{\int }^{x}N(\lambda ,y)\mathrm{d}\lambda \\ & +Y(y)+X(x)=C\end{array}$ 其中$Y(y)$和$X(x)$是积分出来的函数而不是常数，将它们列在这里以使最终函数$F(x,y)$满足初始条件。
Template:Le,一阶 $M(x,y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+N(x,y)=0$ $M(x,y)\mathrm{d}y+N(x,y)\mathrm{d}x=0$ 其中$\frac{\partial M}{\partial x}\ne \frac{\partial N}{\partial y}$	积分因子$\mu (x,y)$满足 $\frac{\partial (\mu M)}{\partial x}=\frac{\partial (\mu N)}{\partial y}$	如果可以得到$\mu (x,y)$： $\begin{array}{cc}F(x,y)& ={\int }^y\mu (x,\lambda )M(x,\lambda )\mathrm{d}\lambda +{\int }^x\mu (\lambda ,y)N(\lambda ,y)\mathrm{d}\lambda \\ & +Y(y)+X(x)=C\\ \end{array}$
一般二阶微分方程
二阶，自治 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=F(y)$	原方程乘以$\frac{2\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，代换$2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2$，然后两次积分。	$x=\pm {\int }^y\frac{\mathrm{d}\lambda }{\sqrt{2{\int }^{\lambda }F(ϵ)\mathrm{d}ϵ+C_1}}+C_2$
线性微分方程（最高到$n$阶）
一阶线性，非齐次的函数系数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$	积分因子：$e^{{\int }^{x}P(\lambda )d\lambda }$。	$y=e^{-{\int }^{x}P(\lambda )\mathrm{d}\lambda }[{\int }^x{e}^{{\int }^{\lambda }P(ϵ)\mathrm{d}ϵ}Q(\lambda )\mathrm{d}\lambda +C]$
二阶线性，非齐次的常系数 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+b\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+cy=r(x)$	余函数$y_c$：设$y_c={\mathrm{e}}^{\alpha x}$，代换并解出$\alpha$中的多项式，求出线性无关函数$e^{{\alpha }_{j}x}$。 特解$y_p$：一般运用Template:Link-en，虽然对于非常容易的$r(x)$可以直观判断。	$y=y_c+y_p$ 如果$b^2>4c$,则： $y_c=C_1{e}^{(-b+\sqrt{b^2-4c})\frac{x}{2}}+C_2{e}^{-(b+\sqrt{b^2-4c})\frac{x}{2}}$ 如果$b^2=4c$，则： $y_c=(C_{1}x+C_2)e^{-\frac{bx}{2}}$ 如果$b^2<4c$,则： $y_c=e^{-\frac{bx}{2}}[C_1\sin \left(\sqrt{|b^2-4c|}\frac{x}{2}\right)+C_2\cos \left(\sqrt{|b^2-4c|}\frac{x}{2}\right)]$
$n$阶线性，非齐次常系数 $\sum _{j=0}^n{b}_j\frac{{\mathrm{d}}^{j}y}{\mathrm{d}{x}^j}=r(x)$	余函数$y_c$：设$y_c={\mathrm{e}}^{\alpha x}$，代换并解出$\alpha$中的多项式，求出线性无关函数$e^{{\alpha }_{j}x}$。 特解$y_p$：一般运用Template:Link-en，虽然对于非常容易的$r(x)$可以直观判断。	$y=y_c+y_p$ 由于${\alpha }_j$为$n$阶多项式的解： $\prod _{j=1}^n(\alpha -{\alpha }_j)=0$，于是： 对于各不相同的${\alpha }_j$， $y_c=\sum _{j=1}^n{C}_j{e}^{{\alpha }_{j}x}$ 每个根${\alpha }_j$重复$k_j$次， $y_c=\sum _{j=1}^n\left(\sum _{\ell =1}^{k_j}{C}_{\ell }{x}^{\ell -1}\right)e^{{\alpha }_{j}x}$ 对于一些复数值的αj，令α = χj + iγj，使用欧拉公式，前面结果中的一些项就可以写成 $C_j{e}^{{\alpha }_{j}x}=C_j{e}^{{\chi }_{j}x}\cos ({\gamma }_{j}x+{\varphi }_j)$ 的形式，其中ϕj为任意常量（相移）。

参见

• 微分方程
• 偏微分方程