加托導數

数学上，加托导数(英文: Gâteaux derivative)是微分学中的-{方向}-导数的概念的推广。它以勒內·加托命名，他是一位法国数学家，年青时便死于第一次世界大战。它定义于局部凸的拓扑向量空间上，可以和巴拿赫空间上的弗雷歇导数作对比。二者都经常用于形式化泛函导数的概念，常见于變分法和物理学，特别是量子场论。和其他形式的导数不同，加托导数是非线性的。

定义

假设 $X$ 和 $Y$ 是局部凸拓扑向量空间，（例如巴拿赫空间），$U\subset X$ 是開集合(open set)，且 $F:X\to Y$。 $F$ 在點 $u\in U$ 沿着 $\psi \in X$ 方向的加托偏微分(Gâteaux differential) $dF(u,\psi )$ 定义为

$dF(u,\psi )=\underset{\tau \to 0}{\lim }\frac{F(u+\tau \psi )-F(u)}{\tau }={\frac{d}{d\tau }F(u+\tau \psi )|}_{\tau =0}$

如果极限存在。固定 $u$ 若 $dF(u,\psi )$ 对于所有 $\psi \in X$ 都存在，则称 $F$ 在 $u\in U$ 是加托可微(Gâteaux differentiable )。若 $F$ 在 $u$ 是加托可微，稱 $dF(u,\cdot )$ 為在 $u$ 的加托導數。

称 $F$ 是在 $U$ 中连续可微的若

$dF:U\times X\to Y$

是连续的。

属性

若加托导数存在，则其为唯一。

对于每个$u\in U$，加托导数是一个算子$dF:X\to Y.$。 该算子是齐次的，使得

$dF(u,\alpha \psi )=\alpha dF(u,\psi )$，但是它通常不是可加的，并且，因此而不总是线性的，不像Fréchet导数。

例子

令 $X$ 为一个在欧几里得空间 ${ℝ}^n$ 勒贝格可测集 $\mathrm{\Omega }$ 上的平方可积函数的希尔伯特空间，也就是說 $X=\{u:\mathrm{\Omega }\mapsto ℝ\mid \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{u}^2<\mathrm{\infty },\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$ 是勒貝格可測集 $\}$。泛函 $E:X\to ℝ$ 由

$E(u)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }F(u(x))dx$

给出，其中 $F$ 是一个定義在實數上的可微实值函数且 $F^{\prime }=f$ 而 $u$ 為定義在 $\mathrm{\Omega }$ 的實數值函數，则加托导数为

$dE(u,\psi )=(f(u),\psi ),(f(u),\psi )$ 這符號代表 $\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(u(x))\psi (x)dx$.

更詳細的說：

$\frac{E(u+\tau \psi )-E(u)}{\tau }=\frac{1}{\tau }(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }F(u+\tau \psi )dx-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }F(u)dx)$

$=\frac{1}{\tau }(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{d}{ds}F(u+s\tau \psi )dsdx)$

$=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(u+s\tau \psi )\psi dsdx.$

令$\tau \to 0$ (并假设所有积分有定义)，得到加托导数

$dE(u,\psi )=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(u(x))\psi (x)dx,$

也就是，内积$(f(u),\psi ).$

参看

• 导数 (推广)

参考

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