普吕克坐标

Template:Unreferenced 数学上，普吕克坐标是将射影三维空间中的每条线给予6个齐次坐标，也就是一个射影5维空间中的一点。普吕克坐标由尤利乌斯·普吕克于1844年给出。

定义

令L为一直线，穿过点$p(x_0,x_1,x_2,x_3)$和点$q(y_0,y_1,y_2,y_3)$。

定义$p_{ij}$为$\left(\begin{array}{cc}{x}_i& x_j\\ y_i& y_j\end{array}\right)=x_i{y}_j-x_j{y}_i$的行列式。

这蕴涵着$p_{ii}=0$和$p_{ij}=-p_{ji}$.

考虑六元组$(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})$。不是所有6个都可以同时为0，因为如果是的话，所有$\left(\begin{array}{cccc}{x}_0& x_1& x_2& x_3\\ y_0& y_1& y_2& y_3\end{array}\right)$的$2\times 2$子矩阵都是零，则该矩阵最多秩为1，这个p及q为不同点的假设不符。

p和q的选取对于6元组的影响只是一个非零因子，如下所示：

考虑$p^{\prime }(x{\text{'}}_0,x{\text{'}}_1,x{\text{'}}_2,x{\text{'}}_3)$和$q^{\prime }(y{\text{'}}_0,y{\text{'}}_1,y{\text{'}}_2,y{\text{'}}_3)$为L上不同点，其中$x{\text{'}}_i=k_1{x}_i+l_1{y}_i$而$y{\text{'}}_i=k_2{x}_i+l_2{y}_i$。 p'和q'不同的假设归结为$k_1{l}_2-k_2{l}_1\ne 0$。 可以检验：$\left(\begin{array}{cc}x{\text{'}}_i& x{\text{'}}_j\\ y{\text{'}}_i& y{\text{'}}_j\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{k}_1& l_1\\ k_2& l_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{x}_i& x_j\\ y_i& y_j\end{array}\right)$ 这样，$(p{\text{'}}_{01},p{\text{'}}_{02},p{\text{'}}_{03},p{\text{'}}_{23},p{\text{'}}_{31},p{\text{'}}_{12})=(k_1{l}_2-k_2{l}_1)(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})$

称W为所有PG(3,K)中的直线的集合。我们现在恰当地定义一个映射$\alpha$：从W到一个K上的5维射影空间： $\alpha :W\to PG(5,K):L\to L^{\alpha }=(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})$