反三角函数积分表

Template:Unreferenced Template:三角学 以下是部份反三角函數的積分表。(书写时省略了不定积分结果中都含有的任意常数Cn)

同一個反三角函數亦有多種的表達方式，其中有三種是最常用的。如sine的反函數可以以sin⁻¹，asin或arcsine表示。

反正弦

• $\int \arcsin \frac{x}{c}dx=x\arcsin \frac{x}{c}+\sqrt{c^2-x^2}$

• $\int x\arcsin \frac{x}{c}dx=(\frac{x^2}{2}-\frac{c^2}{4})\arcsin \frac{x}{c}+\frac{x}{4}\sqrt{c^2-x^2}$

• $\int x^2\arcsin \frac{x}{c}dx=\frac{x^3}{3}\arcsin \frac{x}{c}+\frac{x^2+2c^2}{9}\sqrt{c^2-x^2}$

• $\int x^n\arcsin xdx=\frac{1}{n+1}(x^{n+1}\arcsin x+\frac{x^n\sqrt{1-x^2}-n{x}^{n-1}\arcsin x}{n+1}+\frac{n(n-1)}{n+1}\int x^{n-2}\arcsin xdx)$

反正切

• $\int \arctan \frac{x}{c}dx=x\arctan \frac{x}{c}-\frac{c}{2}\ln (x^2+c^2)$

• $\int x\arctan \frac{x}{c}dx=\frac{c^2+x^2}{2}\arctan \frac{x}{c}-\frac{cx}{2}$

• $\int x^2\arctan \frac{x}{c}dx=\frac{x^3}{3}\arctan \frac{x}{c}-\frac{c{x}^2}{6}+\frac{c^3}{6}\ln c^2+x^2$

• $\int x^n\arctan \frac{x}{c}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\arctan \frac{x}{c}-\frac{c}{n+1}\int \frac{x^{n+1}}{c^2+x^2}dx,n\ne 1$

反正割

• $\int \mathrm{arcsec}\frac{x}{c}dx=x\mathrm{arcsec}\frac{x}{c}-c\mathrm{sgn}(x)\ln |x+\sqrt{x^2-c^2}|=x\mathrm{arcsec}\frac{x}{c}+c\mathrm{sgn}(x)\ln |x-\sqrt{x^2-c^2}|$

• $\int x\mathrm{arcsec}\frac{x}{c}dx=\frac{1}{2}(x^2\mathrm{arcsec}\frac{x}{c}-c\sqrt{x^2-c^2})$

• $\int x^n\mathrm{arcsec}xdx=\frac{1}{n+1}\{x^{n+1}\mathrm{arcsec}x-\frac{1}{n}[x^{n-1}\sqrt{x^2-1}+(1-n)(x^{n-1}\mathrm{arcsec}x+(1-n)\int x^{n-2}\mathrm{arcsec}xdx)]\}$

反余切

• $\int \mathrm{arccot}\frac{x}{c}dx=x\mathrm{arccot}\frac{x}{c}+\frac{c}{2}\ln (c^2+x^2)$

• $\int x\mathrm{arccot}\frac{x}{c}dx=\frac{c^2+x^2}{2}\mathrm{arccot}\frac{x}{c}+\frac{cx}{2}$

• $\int x^2\mathrm{arccot}\frac{x}{c}dx=\frac{x^3}{3}\mathrm{arccot}\frac{x}{c}+\frac{c{x}^2}{6}-\frac{c^3}{6}\ln (c^2+x^2)$

• $\int x^n\mathrm{arccot}\frac{x}{c}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\mathrm{arccot}\frac{x}{c}+\frac{c}{n+1}\int \frac{x^{n+1}}{c^2+x^2}dx,n\ne 1$