綜合除法

綜合除法是一種簡便的多項式除法，只需加、乘兩種運算。一般的綜合除法可計算除式為一次多項式時的多項式除法。

被除數的未知數應是降幂排列，抽取係數用以計算。如果除式中的首項係數不是$1$，使用綜合除法前應先提取除式的首項係數。

一般的綜合除法

设被除式为

$F(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$

设除式为

$G(x)=x-r$

设商为

$Q(x)=b_{n-1}{x}^{n-1}+b_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_0$

另外有一个余数s

1. 分离$F(x)$的系数，按降幂写下，再把$r$写在左边，像这样:

$\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \cdots & a_1& a_0\\ r& & & & & \end{array}$

2. 把最左边的系数$a_n$直接拖下来，它就是商的最高次项系数：

$\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \cdots & a_1& a_0\\ r& & & & & \\ & a_n& & & & \\ & =b_{n-1}& & & & \end{array}$

3. 把下边的最左边一个数乘上$r$，写到行上边的右边一位：

$\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \cdots & a_1& a_0\\ r& & b_{n-1}r& & & \\ & a_n& & & & \\ & =b_{n-1}& & & & \end{array}$

4. 上下两数相加，写到这一列的行下:

$\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \cdots & a_1& a_0\\ r& & b_{n-1}r& & & \\ & a_n& a_{n-1}+b_{n-1}r& & & \\ & =b_{n-1}& =b_{n-2}& & & \end{array}$

5. 重复第3，4步，直到没有剩下的数了:

$\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \cdots & a_1& a_0\\ r& & b_{n-1}r& \cdots & b_{1}r& b_{0}r\\ & a_n& a_{n-1}+b_{n-1}r& \cdots & a_1+b_{1}r& a_0+b_{0}r\\ & =b_{n-1}& =b_{n-2}& \cdots & =b_0& =s\end{array}$

b的值是商$Q(x)$的系数，商的次数比被除式的次数少$1$。最后的$s$是余数。

例如$2x^2+5x+3$除以$2x-3$

$\begin{array}{cccc}& 2& 5& 3\\ \frac{3}{2}& & 3& 12\\ & 2& 8& 15\end{array}$

因为除数用的是3/2，而不是3，所以还需将所得的系数除以2，

故商式为$x+4$，余式为$15$。

$2x^2+5x+3=(2x+8)(x-\frac{3}{2})+15=(x+4)(2x-3)+15$

推廣的綜合除法

推廣的綜合除法可計算除式為任意多項式的多項式除法。

例如$x^3-12x^2-42$除以$x^2+x-3$

$\begin{array}{ccccc}& 1& -12& 0& -42\\ 3& & & 3& -39\\ -1& & -1& 13& \\ & 1& -13& 16& -81\end{array}$

商式為$x-13$，余式為$16x-81$。

$x^3-12x^2-42=(x-13)(x^2+x-3)+16x-81$