因式分解

多项式$x^2+cx+d$可因式分解成$(x+a)(x+b)$，其中：$ab=d,a+b=c$。

因式分解，在这里是指多項式因式分解（Template:Lang-enTemplate:Notetag），在數學中一般理解為把一個多項式分解為兩個或多個的因式Template:NoteTag的過程。在這個過後會得出一堆較原式簡單的多項式的積。例如单元多項式$x^2-1^2$可被因式分解為$(x+1)(x-1)$。又如二元多項式$x^2-y^2$因式分解為$(x+y)(x-y)$。如果我们允许多項式系数从整数扩大到複整數，那么$x^2+1^2$可被因式分解為$(x+i)(x-i)$。通常分解获得的每个因式要是不可约多项式（Template:Lang）。也就是不能再分解了。

定义

数域$P$上每个高于一次的多项式$f(x)$都可以分解为该数域P上的多个不可约多项式$p_i(x)$的乘积，为因式分解。

在复数域上，每个不可约多项式都是一次的，因此高于一次的复系数多项式，都可以唯一地分解为多个一次式之积。

在实数域上，不可约的多项式都是一次或二次的，因此高于一次的实系数多项式，都可以唯一地分解为一次、二次多项式之积。

在有理数域上，不可约多项式可以有任何次。例如，在有理数范围内，当$n$为正整数时，关于$x$的多项式$x^n+2$无法再分解。

因式分解定理

数域F上每个次数$\ge 1$的多项式$f(x)$都可以分解成数域F上一些不可约多项式的乘积，并是唯一的，即如果有两个分解式

$f(x)=p_1(x)p_2(x)p_3(x)\cdots p_s(x)=q_1(x)q_2(x)\cdots q_t(x)$

其中$p_i(x)(i=1,2,\cdots ,s)$和$q_j(x)(j=1,2,\cdots ,t)$都是数域F上的不可约多项式，那么必有$s=t$，而且可以适当排列因式的次序，使得

$p_i(x)=c_i{q}_i(x)(i=1,2,\cdots ,s)$,其中$c_i(i=1,2,\cdots ,s)$是一些非零常数

分解方法

公因式分解(抽)

原则：

1. 分解必須要彻底（即分解後之因式均不能再做分解）
2. 結果最後只留下小括號
3. 結果的多項式首項為正。

在一個公式內把其公因子抽出，例子：

• $7a+98ab$
  • 其中，$7a$是公因子。因此，因式分解後得到的答案是：$7a(1+14b)$
• $51a^4{b}^7+24a^3{b}^2+75a^5{b}^5$
  • 其中，$3a^3{b}^2$是公因子。因此，因式分解後得到的答案是：$3a^3{b}^2(17a{b}^5+25a^2{b}^3+8)$

公式法

兩個立方數之和 $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

兩個立方數之差 $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

兩個n次方數之差 $$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+......+b^{n-1})$$

兩個奇數次方數之和 $$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+......+b^{n-1})$$

分组分解法

透過公式重組，然後再抽出公因數，例子：

$\begin{array}{cc}& 3a^{2}b-5y+12a^3{b}^2-20aby\\ =& (3a^{2}b+12a^3{b}^2)-(5y+20aby)\\ =& 3a^{2}b(1+4ab)-5y(1+4ab)\\ =& (1+4ab)(3a^{2}b-5y)\end{array}$

$\begin{array}{cc}& 15n^2+2m-3n-10mn\\ =& (15n^2-3n)+(2m-10mn)\\ =& 3n(5n-1)+2m(1-5n)\\ =& 3n(5n-1)-2m(5n-1)=& (5n-1)(3n-2m)\end{array}$

拆添项法

透過添項然後減掉，然後再抽出公因數，例子：

$\begin{array}{cc}& x^4+x^2+1\\ =& x^4+x^2+x^2-x^2+1\\ =& x^4+2x^2-x^2+1\\ =& x^4+2x^2+1-x^2\\ =& {(x^2+1)}^2-x^2\\ =& (x^2+1-x)(x^2+1+x)\\ =& (x^2-x+1)(x^2+x+1)\end{array}$

或者透過分裂某項，然後再抽出公因數，例子：

$x^3-7x+6$

其中，$-7x$可以被拆成$-x$和$-6x$。所以，$x^3-7x+6$可以被寫成$x^3-x-6x+6$。因此，

$\begin{array}{cc}& x^3-7x+6\\ =& x^3-x-6x+6\\ =& (x^3-x)-(6x-6)\\ =& x(x^2-1)-6(x-1)\\ =& x(x+1)(x-1)-6(x-1)\\ =& [x(x+1)-6](x-1)\\ =& (x^2+x-6)(x-1)\end{array}$

其中，$+x$可以被拆成$+3x$和$-2x$。所以，$x^2+x-6$可以被寫成$x^2+3x-2x-6$。因此，

$\begin{array}{cc}& (x^2+x-6)(x-1)\\ =& (x^2+3x-2x-6)(x-1)\\ =& [(x^2+3x)-(2x+6)](x-1)\\ =& (x(x+3)-2(x+3))(x-1)\\ =& (x-2)(x+3)(x-1)\\ =& (x-1)(x-2)(x+3)\end{array}$

十字交乘法

十字交乘法（cross method），也叫做十字相乘法。它实際上是拆項法的一個變形，只不過用十字形矩陣來表示。

一次因式檢驗法

一個整係數的一元多項式$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+......a_{1}x+a_0$，假如它有整係數因式$px+q$，且p,q互質，則以下兩條必成立：（逆敘述並不真）

• $p|a_n$
• $q|a_0$

不過反過來說，即使當$p|a_n$和$q|a_0$都成立時，整係數多項式$px+q$也不一定是整係數多項式$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+......a_{1}x+a_0$的因式

另外一個看法是：

一個整係數的ｎ次多項式$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+......a_{1}x+a_0$，若$px-q$是f(x)之因式，且p,q互質，則：（逆敘述並不真）

• $p-q|f(1)$
• $p+q|f(-1)$

参见

• 因数分解
• 高斯整數分解
• 多項式
• 根
• 十字相乘
• 乘法公式

延伸閱讀

• Burnside, William Snow; Panton, Arthur William (1960) [1912], The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one), Dover
• Dickson, Leonard Eugene (1922), First Course in the Theory of Equations, New York: John Wiley & Sons
• Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revised), Boston: D. C. Heath & Co.
• Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover
• Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co