卜瓦松分布

泊松分布（Template:Lang-fr；Template:Lang-en）又稱Poisson分布、-{zh-cn:帕松; zh-tw:泊松; zh-hk:帕松;}-分布、布瓦松分布、布阿松分布、普阿松分布、波以松分布、卜氏分布、帕松小數法則（Poisson law of small numbers），是一種統計與概率學裡常見到的離散機率分布，由法國數學家西莫恩·德尼·泊松在1838年時發表。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、雷射的光子數分布等等。（單位時間內發生的次數，可以看作事件發生的頻率，類似物理的頻率$f$）。

泊松分布的機率質量函数为：

$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$

泊松分布的参数$\lambda$是随机事件发生次数的数学期望值。

记号

若$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为$X\sim \pi (\lambda )$，或记为$X\sim \text{Poisson}(\lambda )$.

假设

如果以下假设成立，则适用泊松分布：

1、k 是一个非负整数，是某个事件在某个时间间隔内发生的次数。

2、一个事件的发生不会影响第二个事件的概率。

3、事件发生的平均速率与任何事件的发生无关。

4、两个事件不可能在同一时刻发生。

如果这些条件成立，则 k 是泊松随机变量；k 的分布是泊松分布。

性质

1、服从泊松分布的随机变量，其数学期望与方差相等，同为参数$\lambda$ : $E(X)=V(X)=\lambda$

2、兩個獨立且服从泊松分布的随机变量，其和仍然服从泊松分布。更精確地說，若 $X\sim \text{Poisson}({\lambda }_1)$且 $Y\sim \text{Poisson}({\lambda }_2)$，則$X+Y\sim \text{Poisson}({\lambda }_1+{\lambda }_2)$。反過來若兩個獨立隨機變量的和服從卜瓦松分布，則這兩個隨機變量經平移後皆服從卜瓦松分布（Template:Le）。

3、其動差母函數为：

$M_X(t)=E[e^{tX}]=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{tx}\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^x}{x!}=e^{-\lambda }\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(e^t\lambda {)}^x}{x!}=e^{\lambda (e^t-1)}$

推導

期望值：(倒數第三至第二是使用泰勒展開式)

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}(X)& =\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}iP(X=i)\\ & =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}i\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^i}{i!}\\ & =\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^{i-1}}{(i-1)!}\\ & =\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^i}{i!}\\ & =\lambda e^{-\lambda }{e}^{\lambda }\\ & =\lambda \end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}(X^2)& =\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{i}^{2}P(X=i)\\ & =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^2\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^i}{i!}\\ & =\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{i{\lambda }^{i-1}}{(i-1)!}\\ & =\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(i-1)!}\frac{d}{d\lambda }({\lambda }^i)\\ & =\lambda e^{-\lambda }\frac{d}{d\lambda }\left[\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^i}{(i-1)!}\right]\\ & =\lambda e^{-\lambda }\frac{d}{d\lambda }\left[\lambda \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^{i-1}}{(i-1)!}\right]\\ & =\lambda e^{-\lambda }\frac{d}{d\lambda }(\lambda e^{\lambda })=\lambda e^{-\lambda }(e^{\lambda }+\lambda e^{\lambda })=\lambda +{\lambda }^2\end{array}$

我們可以得到：$Var(X)=(\lambda +{\lambda }^2)-{\lambda }^2=\lambda$

如同性質：$E(X)=Var(X)=\lambda$、${\sigma }_X=\sqrt{\lambda }$Template:-

相互獨立的卜瓦松分佈隨機變數之和仍服從卜瓦松分佈：

$X\sim \text{Poisson}({\lambda }_1),Y\sim \text{Poisson}({\lambda }_2).$

$P(X=k_1)=\frac{{\lambda }_1^{k_1}{e}^{-{\lambda }_1}}{k_1!},P(Y=k_2)=\frac{{\lambda }_2^{k_2}{e}^{-{\lambda }_2}}{k_2!}.$

$\begin{array}{cc}P(X+Y=k)& =\sum _{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i)\\ & =\sum _{i=0}^k\frac{{\lambda }_1^i{\lambda }_2^{k-i}{e}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}{i!(k-i)!}\\ & =\frac{e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}{k!}\sum _{i=0}^k{C}_k^i{\lambda }_1^i{\lambda }_2^{k-i}\\ & =\frac{e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^k}{k!}\end{array}$

$X+Y\sim \text{Poisson}({\lambda }_1+{\lambda }_2)$

泊松分布的来源（泊松小数定律）

在二项分布的伯努利试验中，如果试验次数$n$很大，二项分布的概率$p$很小，且乘积$\lambda =np$比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散時間上的对应物。

证明如下。首先，回顾自然對數$e$的定义：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{\lambda }{n})}^n=e^{-\lambda },$

二项分布的定义：

$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$。

如果令$p=\frac{\lambda }{n}$， $n$趋于无穷时$P$的极限：

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(X=k)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!}{(n-k)!k!}{\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^k{(1-\frac{\lambda }{n})}^{n-k}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{F}{\underbrace{\left[\frac{n!}{n^k(n-k)!}\right]}}\left(\frac{{\lambda }^k}{k!}\right)\underset{\to \exp (-\lambda )}{\underbrace{{(1-\frac{\lambda }{n})}^n}}\underset{\to 1}{\underbrace{{(1-\frac{\lambda }{n})}^{-k}}}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\to 1}{\underbrace{[(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\dots (1-\frac{k-1}{n})]}}\left(\frac{{\lambda }^k}{k!}\right)\underset{\to \exp (-\lambda )}{\underbrace{{(1-\frac{\lambda }{n})}^n}}\underset{\to 1}{\underbrace{{(1-\frac{\lambda }{n})}^{-k}}}\\ & =\left(\frac{{\lambda }^k}{k!}\right)\exp (-\lambda )\end{array}$

最大似然估計（MLE）

给定$n$个样本值$k_i$，希望得到从中推测出总体的泊松分布参数$\lambda$的估计。为计算最大似然估计值，列出对数似然函数：

$\begin{array}{cc}L(\lambda )& =\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_i\mid \lambda )\\ & =\sum _{i=1}^n\ln \left(\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^{k_i}}{k_i!}\right)\\ & =-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^n{k}_i\right)\ln (\lambda )-\sum _{i=1}^n\ln (k_i!).\end{array}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda }L(\lambda )=0⟺-n+\left(\sum _{i=1}^n{k}_i\right)\frac{1}{\lambda }=0.$

解得λ从而得到一个驻点（stationary point）：

${\hat{\lambda }}_{\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{E}}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{k}_i.$

检查函数$L$的二阶导数，发现对所有的$\lambda$与$k_i$大于零的情况二阶导数都为负。因此求得的驻点是对数似然函数$L$的极大值点：

$\frac{{\partial }^{2}L}{\partial {\lambda }^2}=\sum _{i=1}^n-{\lambda }^{-2}{k}_i$

例子

对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10:30到11:47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共观察77分钟*3=231次，共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100次、81次、34次、9次、6次。使用极大似真估计（MLE），得到$\lambda$的估计为$\frac{81\times 1+34\times 2+9\times 3+6\times 4}{230}\approx 0.87$。

生成泊松分布的随机变量

一个用来生成随机泊松分布的数字（伪随机数抽样）的简单算法，已经由高德纳给出（见下文参考）：

algorithm poisson random number (Knuth):
    init:
         Let L ← e−λ, k ← 0 and p ← 1.
    do:
         k ← k + 1.
         Generate uniform random number u in [0,1] and let p ← p×u.
    while p > L.
    return k − 1.

尽管简单，但复杂度是线性的，在返回的值$k$，平均是$\lambda$。还有许多其他算法来克服这一点。有些人由Ahrens和Dieter给出，请参阅下面的参考资料。同样，对于较大的$\lambda$值，$e^{-\lambda }$可能导致数值稳定性问题。对于较大$\lambda$值的一种解决方案是拒绝采样，另一种是采用泊松分布的高斯近似。

对于很小的$\lambda$值，逆变换取样简单而且高效，每个样本只需要一个均匀随机数u。直到有超过$u$的样本，才需要检查累积概率。

algorithm Poisson generator based upon the inversion by sequential search:
    init:
         Let x ← 0, p ← e−λ, s ← p.
         Generate uniform random number u in [0,1].
    do:
         x ← x + 1.
         p ← p * λ / x.
         s ← s + p.
    while u > s.
    return x.

参见

• 泊松过程
• 概率论
• 泊松回归
• 概率分布

参考文献

来源

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