庞加莱-霍普夫定理

数学上，庞加莱-霍普夫(Poincaré-Hopf)定理(也称为庞加莱-霍普夫指标定理，庞加莱-霍普夫指标公式，或霍普夫指标定理)是微分拓扑的重要定理。

定理：令 M 为紧微分流形。令 v 为 M 上有孤立零点的向量场。若 M 有边界，则我们要求在边界上 v 指向边界的外法向。然后，我们有如下公式

$\sum _i{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{x}}_v(x_i)=\chi (M)$

其中，求和取遍 v 的孤立零点而 $\chi (M)$ 是 M 的欧拉示性数。

定理由庞加莱在二维的情况证明，而后由霍普夫推广到高维。