純態

從白熾燈（1）發射出的光子處於完全隨機偏振混合態（2），密度矩陣為
$\left[\begin{array}{cc}0.5& 0\\ 0& 0.5\end{array}\right]$ 。
通過垂直平面偏振器（3）之後，光子處於垂直偏振純態（4），密度矩陣為
$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ 。

純態（pure state）這個名詞出現在幾個領域，包括物理方面的量子力學以及數學方面的泛函分析理論。

量子力學

在量子力學當中，純態由一個相同統計系綜(ensemble)所構成，而相對於純態的混態(mixed state)則可以分解兩個以上的系綜。在量子力學中有諸多表示型(formalism)，一個量子態可由密度矩陣或稱密度算符表示，區分純態和混態的方法即可由此得之。純態S可用狄拉克符号的右括向量表示：

$S=|\mathrm{\Psi }⟩$

或寫成密度矩陣表示型則為：

$S=\rho =|\mathrm{\Psi }⟩⟨\mathrm{\Psi }|$

给定的量子态对应不同的右矢（相差一个相位），$|{\mathrm{\Psi }}^{\prime }⟩=e^{i\varphi }|\mathrm{\Psi }⟩$，但对应唯一的密度矩阵$\rho$，从这个角度说，密度矩阵表示更为经济。由此推广，可以用密度矩阵表示定义更一般的态，

$S=\rho =\sum _{i=1}^N{c}_i|{\mathrm{\Psi }}_i⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_i|$

其中，$\{|{\mathrm{\Psi }}_i⟩\}$是一组（不一定互相正交的）纯态，且$0<c_i\le 1$并满足$\sum _i{c}_i=1$。注意数$N$并不受希尔伯特空间维数的限制。

混态

对于密度矩阵$\rho$表述的量子态，若其不能写作纯态的密度矩阵（其中$N=1$且$c_1=1$），则称作混态。

區分純態與混態

區分純態與混態的方法要利用到$tr(\rho )$。$tr(\rho )$表示對矩陣$\rho$取對角線元素和(trace)，將純態和混態做歸一化動作，使得$tr(\rho )$之值皆會是1。

而兩者不同處在於$tr({\rho }^2)$：歸一化過的純態$tr({\rho }^2)=tr(\rho )=1$，而歸一化過的混態則$tr({\rho }^2)<1$，和$tr(\rho )=1$不同，由此得以辨別出純態與混態。

舉例

${\rho }_1=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$為純態，${\rho }_2=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)$為混態

$\Rightarrow tr({\rho }_1)=tr({\rho }_2)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

${\rho }_1^2={\rho }_1*{\rho }_1=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$； ${\rho }_2^2={\rho }_2*{\rho }_2=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& 0\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)$。

$\Rightarrow tr({\rho }_1^2)=tr({\rho }_1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$；$tr({\rho }_2^2)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\ne tr({\rho }_2)=1$

量子退相干現象的過程中，與環境的相互作用會讓密度矩陣的非對角線元素(off-diagonal elements)隨時間衰減到0。也就是說在這個例子，隨著時間$t$逐漸增加，原本純態，

${\rho }_1=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}{e}^{-\frac{t}{T_2}}\\ \frac{1}{2}{e}^{-\frac{t}{T_2}}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\Rightarrow {\rho }_1(t=0)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

演化为混态，

$\stackrel{t\to \mathrm{\infty }}{\to }{\rho }_2=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

參閱

• 密度矩阵