哈代-李特爾伍德第一猜想

Template:Infobox mathematical statement 在數論中，哈代-李特爾伍德第一猜想（first Hardy–Littlewood conjecture）Template:Sfn指的是對小於給定數的Template:Link-en的非病態公式，這猜想是對質數定理的推廣。這猜想最初由G·H·哈代和約翰·恩瑟·李特爾伍德在1923年提出。

陳述

設$m_1,m_2,\dots ,m_k$為一組使得$P=(p,p+m_1,p+m_2,\dots ,p+m_k)$不對任何質數構成一個完全剩餘系的正整數，並以${\pi }_P(n)$表示不大於$n$並使得$p+m_1,p+m_2,\dots ,p+m_k$皆為質數的質數$p$的數量，那麼有：Template:SfnTemplate:Sfn

${\pi }_P(n)\sim C_P\underset{2}{\overset{n}{\int }}\frac{dt}{{\log }^{k+1}t},$

其中

$C_P=2^k\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{q\text{ prime,}}{q\ge 3}}\frac{1-\frac{w(q;m_1,m_2,\dots ,m_k)}{q}}{{(1-\frac{1}{q})}^{k+1}}$

是奇質數的乘積，且此處$w(q;m_1,m_2,\dots ,m_k)$表示$0,m_1,m_2,\dots ,m_k$除以$q$後，其中不同的餘數的個數。

$k=1$且$m_1=2$的情況和孿生質數猜想相關，特別地，若以${\pi }_2(n)$表示不大於$n$的孿生質數個數，那麼有

${\pi }_2(n)\sim C_2\underset{2}{\overset{n}{\int }}\frac{dt}{{\log }^{2}t},$

其中

$C_2=2\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{q\text{ prime,}}{q\ge 3}}(1-\frac{1}{(q-1{)}^2})\approx 1.320323632\dots$

是孿生質數常數。Template:Sfn

斯奎斯數

Template:Main article 質數k元組的斯奎斯數，是根據哈代-李特爾伍德第一猜想，在質數k元組上對斯奎斯數的定義的推廣。質數k元組$P$的斯奎斯數的定義是最小的違反哈代-李特爾伍德的質數$p$，也就是最小的使得下式成立的質數：Template:Sfn

${\pi }_P(p)>C_P{\mathrm{li}}_P(p),$

結果

目前已證明說，哈代-李特爾伍德第一猜想和哈代-李特尔伍德第二猜想彼此不相容。

推廣

Template:Link-en是哈代-李特爾伍德第一猜想在次數大於一的多項式上的推廣。Template:Sfn

參考資料

• Template:Cite journal
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