圆形函数

拓扑学和微积分中，圆形函数（round function）是流形M上的标量函数$M\to ℝ$，其临界点形成连通分量，每个都同胚于圆$S^1$，因此也叫临界环。圆形函数是莫尔斯–博特函数的特例。

黑色圆圈就是其中一个临界环。

例子

例如，令M为环面；

$K=(0,2\pi )\times (0,2\pi ).$

则知映射$X:K\to {ℝ}^3$

$X(\theta ,\varphi )=((2+\cos \theta )\cos \varphi ,(2+\cos \theta )\sin \varphi ,\sin \theta )$

是几乎所有M的参数化。现在，将函数${\pi }_3:{ℝ}^3\to ℝ$限制在M上

$G={\pi }_3{|}_M:M\to ℝ,(\theta ,\varphi )\mapsto \sin \theta$

$G=G(\theta ,\varphi )=\sin \theta$是临界集定义为

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}G(\theta ,\varphi )=(\frac{\partial G}{\partial \theta },\frac{\partial G}{\partial \varphi })(\theta ,\varphi )=(0,0)$

的函数，当且仅当$\theta =\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$。

$\theta$这两个值给出临界集

$X(\pi /2,\varphi )=(2\cos \varphi ,2\sin \varphi ,1)$

$X(3\pi /2,\varphi )=(2\cos \varphi ,2\sin \varphi ,-1)$

代表环面M上的两个极值圆。 注意此函数的黑塞矩阵是

$\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}(G)=\left[\begin{array}{cc}-\sin \theta & 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

这清楚地表明，在标记圆处$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}(G))=1$、使临界点退化；也就是说，这表明临界点不是孤点。

圆复杂度

模仿LS范畴论，可以定义流形上是否存在圆形函数和/或临界环的最小数目的圆复杂度。

参考文献

• Siersma and Khimshiasvili, On minimal round functions, Preprint 1118, Department of Mathematics, Utrecht University, 1999, pp. 18.[1] Template:Wayback. An update at [2]