普朗歇爾定理

Template:Merge 普朗歇爾定理（又稱帕塞瓦爾-普朗歇爾恒等式 ）是调和分析的重要定理，由米歇爾·普朗歇爾于1910年证明。它指出函数平方的积分等于其频谱的平方的积分。也就是说，如果$f(x)$是實數線上的函数，并且$\hat{f}(\xi )$是它的频谱，那么

$$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x){|}^{2}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi ,$$或者寫成$L^2$範數:$$||f(x)|{|}_{L^2}=||\hat{f}(\xi )|{|}_{L^2}$$

數學上更嚴格的描述是，令函数$f$同时屬於两个L ^p空间$L^1(ℝ)$和$L^2(ℝ)$ ，那么它的傅里叶变换$\hat{f}$屬於$L^2(ℝ)$， 且為$L^2(ℝ)$中的等距變換。

這代表限制在$L^1(ℝ)\cap L^2(ℝ)$上的傅里叶变换有一個唯一的等距擴張$L^2(ℝ)\mapsto L^2(ℝ)$，有時候這個擴張也被稱為普朗歇爾变换。此變換同時也是幺正的，透過此變換，我們便可以好好的在平方可積函數上討論傅里叶变換。

普朗歇爾定理可以被推廣到n维欧氏空间以及局部紧阿贝尔群上，若是滿足一些其他的假設，普朗歇爾定理有另一個版本在非交换局部紧緻群上成立，更多細節可以參考非交换调和分析。

由於在$L^2(ℝ)$上內積與範數是相容的，我們也可以把普朗歇爾定理应用到$L^2(ℝ)$的内积上。也就是說，如果$f(x)$、$g(x)$是两个在$L^2(ℝ)$內的函數，$𝒫$表示普朗歇爾变换，则

$$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\overline{g(x)}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(𝒫f)(\xi )\overline{(𝒫g)(\xi )}d\xi ,$$

而如果$f(x)$和$g(x)$屬於$L^1(ℝ)$，有$$(𝒫f)(\xi )=\hat{f}(\xi )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-2\pi i\xi x}dx,$$以及$$(𝒫g)(\xi )=\hat{g}(\xi )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)e^{-2\pi i\xi x}dx,$$所以

$$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\overline{g(x)}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi .$$

參見

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参考

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外部链接

• Plancherel's Theorem on Mathworld