物理空间代数

物理学中，物理空间代数 （APS）是用三维欧氏空间的克利福德代数或几何代数${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{3,0}(ℝ)$作为(3+1)维时空的模型，通过副向量（3维向量加1维标量）表示时空中的一个点。

克利福德代数${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{3,0}(ℝ)$在旋量表示${ℂ}^2$上有由泡利矩阵生成的忠实表示；此外，${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{3,0}(ℝ)$同构于克利福德代数${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{3,1}(ℝ)$的偶子代数${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{3,1}^{[0]}(ℝ)$。

APS可为经典力学与量子力学构建一个紧凑、统一的几何形式。

注意APS与时空代数（STA）不同，后者涉及4维闵氏时空的克利福德代数${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{1,3}(ℝ)$。

狭义相对论

时空位置副向量

APS中，时空位置可表为副向量 $$x=x^0+x^1{𝐞}_1+x^2{𝐞}_2+x^3{𝐞}_3,$$

其中时间由标绿部分$x^0=t$给出，${\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2,{\overrightarrow{e}}_3$是位置空间的标准基。整个过程中使用的单位是$c=1$，称作自然单位制。在泡利矩阵表述中，单位基向量被泡利矩阵代替，标量部分被单位矩阵代替，这意味着时空位置的泡利矩阵表述为 $$x\to \left(\begin{array}{ccc}{x}^0+x^3& & x^1-i{x}^2\\ x^1+i{x}^2& & x^0-x^3\end{array}\right)$$

洛伦兹变换与转子

Template:Main 保时间方向、包含旋转与递升的受限洛伦兹变换，可用对时空旋转双副向量W进行指数化实现： $$L=e^{\frac{1}{2}W}.$$

在矩阵表示中，洛伦兹转子被看作是$\mathrm{S}\mathrm{L}(2,ℂ)$群（复数上度为2的特殊线性群）的一个例子，其是洛伦兹群的双覆盖。洛伦兹转子的幺模性可由以下条件，转为洛伦兹转子与其克利福德共轭之积： $$L\overline{L}=\overline{L}L=1.$$

此洛伦兹转子总可以分解为两个因子，是厄米的$B=B^{†}$与幺正的$R^{†}=R^{-1}$，使得 $$L=BR.$$

酉元R称作转子，因为其编码了旋转，厄米元B则编码了递升。

四维速度副向量

四维速度也称原速，定义为时空位置副向量对原时τ的导数： $$u=\frac{dx}{d\tau }=\frac{d{x}^0}{d\tau }+\frac{d}{d\tau }(x^1{𝐞}_1+x^2{𝐞}_2+x^3{𝐞}_3)=\frac{d{x}^0}{d\tau }[1+\frac{d}{d{x}^0}(x^1{𝐞}_1+x^2{𝐞}_2+x^3{𝐞}_3)].$$

定义普通速度为 $$𝐯=\frac{d}{d{x}^0}(x^1{𝐞}_1+x^2{𝐞}_2+x^3{𝐞}_3),$$

回想伽马因子的定义： $$\gamma (𝐯)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{|𝐯{|}^2}{c^2}}},$$

于是原速的更紧凑定义是： $$u=\gamma (𝐯)(1+𝐯).$$

原速是正幺模副向量，意味着下列克利福德共轭条件： $$u\overline{u}=1.$$

在洛伦兹转子L作用下，原速变换为 $$u\to u^{\prime }=Lu{L}^{†}.$$

四维动量副向量

APS中的四维动量可通过将原速与质量相乘得到： $$p=mu,$$ 质壳条件转化为 $$\overline{p}p=m^2.$$

经典电动力学

电磁场、电势与电流

电磁场可表为双副向量F： $$F=𝐄+i𝐁,$$ 其中厄米部分代表电场E，反厄米部分代表磁场B。在标准泡利矩阵表示中，电磁场为 $$F\to \left(\begin{array}{cc}{E}_3& E_1-i{E}_2\\ E_1+i{E}_2& -E_3\end{array}\right)+i\left(\begin{array}{cc}{B}_3& B_1-i{B}_2\\ B_1+i{B}_2& -B_3\end{array}\right).$$

场F的源是电磁四维电流 $$j=\rho +𝐣,$$ 其中标量部分等于电荷密度ρ，向量部分等于电流密度j。引入电磁势副向量： $$A=\varphi +𝐀,$$ 当中标量部分等于电势ϕ，向量部分等于磁势A。则电磁场为 $$F=\partial \overline{A}.$$ 此场也可分为电部分 $$E=⟨\partial \overline{A}{⟩}_V$$ 与磁部分 $$B=i⟨\partial \overline{A}{⟩}_{BV}$$ 当中 $$\partial ={\partial }_t+{𝐞}_1{\partial }_x+{𝐞}_2{\partial }_y+{𝐞}_3{\partial }_z$$ 且F在下列规范变换下不变： $$A\to A+\partial \chi ,$$ 其中$\chi$是标量场。

电磁场在洛伦兹变换下是协变的，规律是 $$F\to F^{\prime }=LF\overline{L}.$$

麦克斯韦方程组与洛伦兹力

麦克斯韦方程组可用单一方程表示： $$\overline{\partial }F=\frac{1}{ϵ}\overline{j},$$ 其中上横线表示克利福德共轭。

洛伦兹力方程形式为 $$\frac{dp}{d\tau }=e⟨Fu{⟩}_R.$$

电磁拉格朗日量

电磁拉格朗日量是 $$L=\frac{1}{2}⟨FF{⟩}_S-⟨A\overline{j}{⟩}_S,$$ 是实标量不变量。

相对论量子力学

Template:Main 对质量为m、电荷为e的带电粒子，其狄拉克方程的形式为 $$i\overline{\partial }\mathrm{\Psi }{𝐞}_3+e\overline{A}\mathrm{\Psi }=m{\overline{\mathrm{\Psi }}}^{†},$$ 其中${{\overrightarrow{e}}_3}^{\prime }$是任意酉向量，A是如上所述的电磁副向量。电磁相互作用通过最小耦合包含在势A中。

经典旋量

Template:Main 与洛伦兹力一致的洛伦兹转子的微分方程为 $$\frac{d\mathrm{\Lambda }}{d\tau }=\frac{e}{2mc}F\mathrm{\Lambda },$$ 这样，原速可通过静止时的洛伦兹变换计算出来： $$u=\mathrm{\Lambda }{\mathrm{\Lambda }}^{†},$$ 积分之，就可得到时空轨迹$x(\tau )$，同时还能使用 $$\frac{dx}{d\tau }=u.$$

另见

• 副向量
• 多重向量
• wikibooks:Physics Using Geometric Algebra
• 相对论量子力学
• 代数

参考文献

教科书

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文章

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