自協調函數

在优化理论中，自協調函数（Template:Lang-en）是一个函数$f:ℝ\to ℝ$其中

$|f^{‴}(x)|\le 2f^{″}(x{)}^{3/2}$

或者，等价地，一个函数$f:ℝ\to ℝ$无论何处$f^{″}(x)>0$满足

$\left|\frac{d}{dx}\frac{1}{\sqrt{f^{″}(x)}}\right|\le 1$

并且满足$f^{‴}(x)=0$在其他地方。

更一般地，多元函数$f(x):{ℝ}^n\to ℝ$是自協調的，如果

${\frac{d}{d\alpha }{\mathrm{\nabla }}^{2}f(x+\alpha y)|}_{\alpha =0}⪯2\sqrt{y^T{\mathrm{\nabla }}^{2}f(x)y}{\mathrm{\nabla }}^{2}f(x)$

或者，等效地，如果它对任意行的限制是協調的。

性質

• 線性結合

若$f_1$和$f_2$是自協調函數，有常數$M_1$和$M_2$，且$\alpha ,\beta >0$，則$\alpha f_1+\beta f_2$是自協調函數，且有常數$\max ({\alpha }^{-1/2}{M}_1,{\beta }^{-1/2}{M}_2)$.

• 仿射變換

若$f$是自協調函數，有常數$M$，且$Ax+b$是${ℝ}^n$的仿射變換，则$\varphi (x)=f(Ax+b)$是带有系数$M$的自協調函數

• 凸共轭

若$f$是自協調函數，则它的凸共轭$f^{*}$也是自協調函數

• 非奇异黑森矩阵

如果$f$是自协调的，且域为$f$不包含直线（两个方向无穷大），那么$f^{″}$是非奇异的。

反之，如果对于某些$x$在域$f$中，且$u\in {ℝ}^n,u\ne 0$，则有$⟨f^{″}(x)u,u⟩=0$，则$⟨f^{″}(x+\alpha u)u,u⟩=0$对于所有$\alpha$，此处$x+\alpha u$在$f$的域中。则$f(x+\alpha u)$是线性的并且不能有最大值，所以所有$x+\alpha u,\alpha \in ℝ$在$f$的域中。我们还注意到$f$其域内不能有最小值。