对偶锥和极锥

对偶锥和极锥（Template:Lang-en）是凸分析中的两个概念。

对偶锥

集合C和它的对偶锥CTemplate:Sup

在向量空间内

实数线性空间 X （例如欧几里得空间Rⁿ）中子集 C 的双锥CTemplate:Sup，与对偶空间 X* 成集合：

$C^{*}=\{y\in X^{*}:⟨y,x⟩\ge 0\mathrm{\forall }x\in C\},$

此中 $⟨y,x⟩$ 是 X 和 X* 的对偶组合，即 $⟨y,x⟩=y(x)$

C* 始终是凸锥，即使 C 既不是凸锥也不是锥。

在拓扑空间内

如果 X 是实数或复数上的拓扑向量空间，则其子集 C⊆X 的对偶锥是 X 上的以下连续线性泛函集合：

$C^{\prime }:=\{f\in X^{\prime }:\mathrm{Re}(f(x))\ge 0\text{ for all }x\in C\}$,Template:Sfn

这是集合 -C 的极锥Template:Sfn，不管 C 是什么。$C^{\prime }$ 都将是一个凸锥。如果 C⊆{0}，则$C^{\prime }=X^{\prime }$。

极锥

闭合凸锥C的极锥是闭合凸锥C^o，反之亦然

对于X中的集合C，C的极锥是集合

$C^o=\{y\in X^{*}:⟨y,x⟩\le 0\mathrm{\forall }x\in C\}.$

可以看出，极锥等于双锥的负值，即C^o=−CTemplate:Sup。

对于X中的闭合凸锥C，极锥相当于C的极集（polar set）。