良擬序

Template:NoteTA Template:Redirect 数学分支序理论中，良擬序或良預序（Template:Lang-en，簡寫作Template:Lang或Template:Lang）是特殊的擬序Template:註，其元素的任意无穷序列$x_0,x_1,x_2,\dots$中，必有先後兩項遞增，即存在$i<j$使$x_i\le x_j$。

動機

良基歸納法可用於任何良基關係上，用以證明某集的全部元素皆具某性質。所以，或許會考慮某擬序是否良基Template:註。不過，良基擬序的類，對某些運算不封閉，即由某良基擬序出發，經若干運算，構造而成的新擬序，不一定良基。欲使新擬序仍為良基，原擬序需追加若干限制。

以冪集運算為例。給定集合$X$上的擬序$\le$，可以定義冪集$𝒫(X)$上的擬序${\le }^{+}$，使$A{\le }^{+}B$當且僅當對$A$的每個元素，皆可在$B$中找到元素大於等於該元素。可以證明${\le }^{+}$不必良基，但若原擬序為良擬序，則冪集的擬序確實良基。Template:Rp

定義

集合$X$上的良擬序（Template:Lang）是一種预序关系（即滿足自反性$x\le x$、传递性$x\le y\wedge y\le z⟹x\le z$的的二元關係$\le$），使得$X$中任意无穷序列$x_0,x_1,x_2,\dots$，皆有先後兩項$x_i\le x_j$（$i<j$）遞增。若有此種良擬序，則$X$本身稱為良擬序集（Template:Lang），簡寫為Template:Lang。Template:Rp

良偏序（Template:Lang）既是良擬序又是偏序，即除前述條件外，尚具反對稱性$x\le y\wedge y\le x⟹x=y$。

良擬序有其他等價定義，如將條件改為既不含無窮嚴格遞減序列$x_0>x_1>x_2>\cdots$Template:註，又不含任意兩項不可比的無窮序列。換言之，擬序$(X,\le )$為良擬序當且僅當$(X,<)$良基，且不含無窮反链。（與Template:Section link的拉姆齊論證相似。）Template:Rp

性質

• 給定擬序$(X,\le )$，在冪集上有另一擬序$(𝒫(X),{\le }^{+})$，其中$A{\le }^{+}B⟺\mathrm{\forall }a\in A,\mathrm{\exists }b\in B,a\le b$。此關係為良基當且僅當$(X,\le )$本身是Template:Lang。Template:Rp
• 給定良擬序$(X,\le )$，若有一列子集$S_0\subseteq S_1\subseteq \cdots \subseteq X$，其中每個子集皆向上封閉Template:註，則該序列終必恆定，即自某個$n\in \mathbb{N}$起，以後各項$S_n=S_{n+1}=\cdots$。假若不然，則對每個$i\in \mathbb{N}$，存在$\mathrm{\exists }j>i$使$S_j\setminus S_i$非空，從中選一個元素，如此可得某個無窮序列，其無遞增的兩項。
• 給定良擬序$(X,\le )$，$X$的任何子集$S$關於$\le$僅得有限多個極小元，否則該些極小元組成無窮反鏈。

無窮遞增子序列

若$(X,\le )$為Template:Lang，則任意無窮序列$x_0,x_1,x_2,\dots$，皆有無窮上升子序列$x_{n_0}\le x_{n_1}\le x_{n_2}\le \cdots$（各下標$n_0<n_1<n_2<\cdots$）。此種子序列或稱為「完美」（Template:Lang）。Template:Rp可用拉姆齊證法Template:註：給定序列$(x_i{)}_i$，考慮全部$i$中，何者使$x_i$右邊沒有任何$j>i$滿足$x_j\ge x_i$。記此種$i$的集合為$I$。若$I$無窮，則以$I$為下標集的子序列將不具遞增的兩項，與$X$為Template:Lang的假設抵觸。所以，$I$為有限集。衹要$n$大於$I$中所有元素，則$n$不屬$I$，故有某個$m>n$使$x_m\ge x_n$，如此可逐項延伸，得到無窮遞增子序列。

「任意序列皆有無窮上升子列」與Template:Lang的條件等價，亦可作為另一種定義。Template:Rp

例

圖一：整數的平常順序

圖二：自然數按整除序的哈斯圖

圖三：格網${\mathbb{N}}^2$逐分量排序的哈斯圖

• $(\mathbb{N},\le )$，自然數集配備平常的大小序，是良偏序，乃至良序。不過，若允許負數，換成整數集的大小序$(\mathbb{Z},\le )$，則並非良擬序，因為此大小關係並非良基：負數組成無遞增兩項的序列。（圖一）
• $(\mathbb{N},|)$，自然數集按整除序，不是良擬序：質數兩兩不可比較，組成無窮反鏈。（圖二）
• $({\mathbb{N}}^k,\le )$，自然數$k$元組的集合Template:Link-enTemplate:註，是良偏序。此為Template:Link-en（圖三）。更一般地，若$(X,\le )$為良擬序，則對任意正整數$k$，Template:Link-en$(X^k,{\le }^k)$亦是良擬序。
• 設$X$為有限集，且至少有兩個元素。克莱尼星号$X^{*}$是字母取自$X$的全體有限字串之集。按字典序，$X^{*}$不是良擬序，因為有無窮遞降序列$b,ab,aab,aaab,\dots$。同樣，$X^{*}$關於前綴關係亦非良擬序，因為前述序列在該偏序下是無窮反鏈。然而，$X^{*}$倘按子序列關係排序，則是良偏序。（在$X$衹有一個元素的退化情況，此三種偏序完全一樣。）
• 推而廣之，以$(X,\le )$為字母集的有限串集$(X^{*},\le )$，按「嵌入」排序，如此組成良擬序當且僅當$(X,\le )$本身是良擬序，此結論稱為Template:Le。其中所謂字串$u$可以嵌入到$v$，意思是$v$中有與$u$等長的子序列，逐項大於等於$u$。若取子母集為無序集$(X,=)$，則字串$u\le v$當且僅當$u$是$v$的子序列，退化成前款情況。
• 相反，良擬序$(X,\le )$上的無窮序列集，記為$(X^{\omega },\le )$，按嵌入序，一般不為良擬序。換言之，希格曼引理不適用於無窮序列。數學家引入Template:Link-en，以期望推廣希格曼引理。
• 以Template:Lang $(X,\le )$之元素標記頂點的有限樹全體，按嵌入排序，也是Template:Lang，即Template:Link-en。此處的樹有選定根節點，而嵌入的要求有三：某節點的子節點要映到該節點之像的後嗣；同節點的不同子節點，要映到該節點之像的不同子分支上；每個節點處的標記，小於等於其像的標記。
• 無窮樹之間的嵌入關係Template:註是Template:Lang，由Template:Link-en所證。
• 可數全序類之間的嵌入關係是良擬序，同樣Template:Link-enTemplate:註全序類之間亦然。（Template:Link-en）
• 可數布尔代数的嵌入序是良擬序，由萊弗定理證得。Template:Rp
• 有限圖按图子式序組成良擬序集。（Template:Link-en）
• 對每個正整數$t$，Template:Link-en至多為$t$的圖，按导出子图序，組成良擬序集。亦可同上考慮以良擬序$(X,\le )$標記其頂點，並要求該導出子圖的嵌入映射，使每個頂點的像的標記皆大於等於原標記，仍得良擬序。此外，Template:Link-en按導出子圖序，構成良擬序。

與良偏序的關聯

字面上，良擬序較良偏序廣義，但基於以下觀察，兩者實際分別不大：Template:Rp一方面，Template:Lang必為Template:Lang。另一方面，若有某Template:Lang，則其各等價類Template:註組成Template:Lang。舉例整數集$\mathbb{Z}$的整除序是擬序$(\mathbb{Z},|)$（但不是良擬序），其等價類形如$\{\pm m\}$，所以等價類組成的偏序同構於$(\mathbb{N},|)$。

據米爾納，「考慮擬序，並不比偏序更為概括……僅是因為較方便。」又例如，在全序類的嵌入擬序中，開區間$(0,1)$與閉區間$[0,1]$不同構，但可互相嵌入，所以在對應偏序中屬同一等價類，Template:Le稱該等價類「似乎不是很有啓發性」，而且，全體偏序集按包含關係組成的偏序類，雖然Template:Le，但並不Template:Le，若改為考慮全體擬序集則不會有此問題。Template:Rp

參考文獻

• Template:Cite journal
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