莱夫谢茨对偶

在数学上，莱夫谢茨对偶是庞加莱对偶的一种拓展，使得最初的庞加莱对偶可以作用于带边流形 。它最初由莱夫谢茨于1926年提出。

定理（莱夫谢茨对偶）

令 $M$ 是 $n$ 维可定向紧流形，边界为 $N$ ，令 $z$ 为$M$ 的定向所決定的基本类。与 $z$ 的杯积诱导了 $M$ 的（上）同调群和 $(M,N)$ 的相对（上）同调群的配对；由此便可得到

$$H^k(M,N)\cong H_{n-k}(M)$$

与

$$H_k(M,N)\cong H^{n-k}(M)$$

这里的 $N$ 实际上可以是空的，此时，莱夫谢茨对偶退化为庞加莱对偶。

实际上，若 $N$ 可以分解为具有共同边界的两个可定向紧流形 $A$、$B$，则有下式：

$$D_M:H^p(M,A;\mathbb{Z})\to H_{n-p}(M,B;\mathbb{Z}).$$