轮廓 (聚类)

在机器学习与数据挖掘领域，轮廓指的是一种反映数据聚类结果一致性的方法，可以用于评估聚类后簇与簇之间的离散程度。轮廓的取值范围为[-1, +1]，如果某一样本的轮廓接近1，则说明样本聚类结果合理；如果接近-1，则说明其更应该分类到其他的簇；如果轮廓近似为0，则说明该样本在两个簇的边界上。所有样本轮廓的均值称为聚类结果的轮廓系数（Silhouette Coefficiency），是该聚类是否合理、有效的度量。

定义

该图显示了Orange数据挖掘套件渲染的动物园数据集中的三种动物的轮廓。 在图底部的轮廓值反映了该数据集中海豚和鼠海豚是离群值（outlier）

假设某一数据集使用如k-means等聚类方法分成了$k$ 个簇：

对于某一属于簇$C_i$样本$i$，记为 $i\in C_i$ ，设$d(i,j)$为样本$i$与$j$之间的距离，求算样本$i$与其他样本之间的平均距离的公式如下（由于不计算样本与自身的距离$d(i,i)$，故计算平均值时样本总数为$|C_i|-1$）：

$a(i)=\frac{1}{|C_i|-1}\sum _{j\in C_i,i\ne j}d(i,j)$

上述公式结果记为$a(i)$，它反映了样本$i$当前聚类结果的优劣（值越小，聚类结果越好）。

然后，我们定义样本与某簇$C_k$的平均相异性为与样本$i$距离簇的平均值$i$到簇$C_k$内所有样本的距离均值 （$C_k\ne C_i$），则对于样本 $i\in C_i$，有$i$最小平均距离$b(i)$对应的簇$C_k$，我们称其为$i$的“相邻簇”：

$b(i)=\underset{k\ne i}{\min }\frac{1}{|C_k|}\sum _{j\in C_k}d(i,j)$

结合上述内容，我们定义$i$的轮廓值为：

$s(i)=\frac{b(i)-a(i)}{\max \{a(i),b(i)\}}$

等效为：

$s(i)=\{\begin{array}{cc}1-a(i)/b(i),& \text{if }a(i)<b(i)\\ 0,& \text{if }a(i)=b(i)\\ b(i)/a(i)-1,& \text{if }a(i)>b(i)\end{array}$

对于上述定义，显然$-1\le s(i)\le 1.$

为了防止簇数量暴增，对于仅有一个样本的簇（$|C_i|=1$），定义其$s(i)=0$。 $a(i)$反映了$i$与其所属簇的距离，较小的$a(i)$值说明其与所属簇的关系紧密；而较大的$b(i)$反映了$i$与其他簇关系疏远；故为提高$s(i)$（或称为优化聚类结果），我们需要使$a(i)\ll b(i)$。

考夫曼（Kaufman）等人定义了轮廓系数（silhouette coefficient ）的概念——在某个数据集的有限种聚类方法中，平均$s(i)$的最大值：

$SC=\underset{k}{\max }\tilde{s}\left(k\right)$

上式中$\tilde{s}\left(k\right)$代表被分为$k$个簇后该数据集的平均$s(i)$ 。

评价

轮廓系数一般不能用于横向评价多种聚类方法。凸簇（如经由DBSCAN方法得出的簇）的轮廓系数一般高于其他类型的簇。

途中蓝色线条是DBSCAN的轮廓系数，随着参数变化其SC迅速增大。然而实际聚类结果很差。

另见

• Davies–Bouldin指数
• k-medoids
• 如何确定数据集中有多少簇