支出最小化

Template:NoteTA 支出最小化问题，在经济学，特别是微观经济学中是效用最大化问题的对偶问题，直观地说就是：“需要多少钱才能使我效用達到最大？” 给定效用函数，价格，和效用目标，这个问题可以分为两部分。

支出函数

假设消费者有一个定义在 $L$ 种商品 $𝐱 \in ℝ_{+}^{L}$ 上的效用函数 $u$ 。则该消费者的支出函数给出在给定价格为 $𝐩$ 的情况下购买一组商品 $x$ ，使得得到的效用 $u (x) \geq u^{*}$ 时所需钱的数额。形式上，支出函数可以这样定义。

e (𝐩, u^{*}) = \min_{𝐱 \in \geq (u^{*})} 𝐩 \cdot 𝐱

这里

\geq (u^{*}) : = {𝐱 \in ℝ_{+}^{L} | u (𝐱) \geq u^{*}}

，

表示所得效用至少等于 $u^{*}$ 的组合的集合。

希克斯需求函數 $𝐡 (𝐩, u^{*})$ 定义一个得到所需效用的最便宜组合。它也可以用支出函数来定义馬歇爾需求函數，

𝐡 (𝐩, u^{*}) = 𝐱 (𝐩, e (𝐩, u^{*}))

。

如果马歇尔需求对应 $𝐱 (𝐩, w)$ 是一个总是给出唯一解的函数，则与之相对应的希克斯需求对应 $𝐡 (𝐩, u^{*})$ 也可以被称为是希克斯需求函数。

Mas-Colell, A., M. Whinston, and J. Green, 1995, Microeconomic Theory. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0195073401