鞅中心极限定理

Template:NoteTA 鞅中心极限定理是概率论中的一个定理，对有界的随机变量而言，常见的经典中心极限定理是它的特殊情形。经典中心极限定理说，在一定条件下，独立同分布（i.i.d.）的随机变量之和，乘以适当的标准化因数后，会依分布收敛于标准正态分布 。而鞅中心极限定理将独立性假设放宽为：这些随机变量只需构成一个鞅中的随机增量（鞅是一种随机过程 ，其从时间 $t$ 到时间 $t+1$ 的增量，在给定时间 1 到 $t$ 观测值的条件下，其条件数学期望为零）。

定理内容

鞅中心极限定理的基本内容可陈述如下：令随机变量 $X_1,X_2,\dots$ 构成一个鞅，即满足条件：

$𝔼[X_{t+1}-X_t|X_1,\dots ,X_t]=0,$ （鞅的定义）

进一步假设这个鞅是有限增量的，即：存在一个固定常数 $k>0$ ，有：

$|X_{t+1}-X_t|\le k$

对所有 $t$ 成立。 另假设$|X_1|\le k$ 也成立。 定义增量的条件方差为：

${\sigma }_t^2=𝔼[(X_{t+1}-X_t{)}^2|X_1,\dots ,X_t],$

并假设所有条件方差之和发散，即下式以概率1成立：

$\sum _{t=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_t^2=\mathrm{\infty }$

据此，对任意给定的常数 $\nu >0$ ，可以定义：

${\tau }_{\nu }=\min \{t:\sum _{i=1}^t{\sigma }_i^2\ge \nu \}.$

在所有上述假设成立的条件下，鞅中心极限定理做出如下结论：标准化的鞅随机变量：

$\frac{X_{{\tau }_{\nu }}}{\sqrt{\nu }}$

随着 $\nu \to +\mathrm{\infty }$ 将会依分布收敛于标准正态分布。

随机增量的条件方差之和必须发散

上述定理假设了所有随机增量的条件方差之和为无穷大，即以下条件以概率1成立：

$\sum _{t=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_t^2=\mathrm{\infty }$

这样可以确保以概率1，下式成立：

${\tau }_v<\mathrm{\infty },\mathrm{\forall }v\ge 0$

并不是所有鞅都满足这个条件，例如恒为零的平凡鞅。

定理的直观理解

可以通过将 $\frac{X_{{\tau }_{\nu }}}{\sqrt{\nu }}$ 如下变形来更好地理解鞅中心极限定理：

$\frac{X_{{\tau }_v}}{\sqrt{v}}=\frac{X_1}{\sqrt{v}}+\frac{1}{\sqrt{v}}\sum _{i=1}^{{\tau }_v-1}(X_{i+1}-X_i),\mathrm{\forall }{\tau }_v\ge 1$

右边的第一项渐近收敛于零，可以忽略。第二项在形式上，与独立同分布随机增量的经典中心极限定理相似，虽然其中被求和项 $X_{i+1}-X_i$ 互相之间未必独立，但由鞅的定义易知它们互不相关的，因为：

$𝔼[(X_{i+1}-X_i)(X_{i+m+1}-X_{i+m})]=𝔼[𝔼[(X_{i+1}-X_i)(X_{i+m+1}-X_{i+m})|X_1,\dots ,X_{i+m}]]=0$

参考文献

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• 有关定理5.4的讨论以及推论5.3（ii）的正确形式，请参见Template:Cite journal