填充維度

Template:Onesource 數學中 ，填充维度是一種可用于定义度量空间中子集之维度的概念。某種程度上，填充維度和郝斯多夫維度是對偶的，因為填充維度是利用「填充」給定的子集來定義，而郝斯多夫維度是利用「覆蓋」給定的子集來定義。填充維度C.Tricot Jr.在1982年引入。

定義

设$(X,d)$是度量空間且$S\subseteq X$，那麼對$s\ge 0$，定義$S$的$s$維的填充前測度（packing pre-measure）為

$P_0^s(S)=\underset{\delta \downarrow 0}{\mathrm{lim\; sup}}\{\sum _{i\in I}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(B_i{)}^s|\begin{array}{c}|I|\le |\mathbb{N}|,\\ \text{球}{B}_i\cap B_j=\varnothing \mathrm{\forall }i,j\in I,\\ \text{diam}(B_i)\le \delta ,B_i\text{ 的 圓 心 }\in S\mathrm{\forall }i\in I\end{array}\}.$

上式只是一个前測度，而非真正的测度，$S$的$s$維填充測度的定義是

$P^s(S)=\inf \{\sum _{j\in J}{P}_0^s(S_j)|S\subseteq \bigcup _{j\in J}{S}_j,|J|\le |N|\},$

即填充測度是其可數個覆蓋的填充前測度和的最大下界。

如此一來，$S$的填充維度定義為

$\begin{array}{cc}{\dim }_{\mathrm{P}}(S)& =\inf \{s\ge 0|P^s(S)=0\}\\ & =\sup \{s\ge 0|P^s(S)=+\mathrm{\infty }\}.\end{array}$

示例

以下示例是填充維度與郝斯多夫維度不相等最简单的情况。

$(a_n)$考慮序列$(a_n)$$(a_n)$$(a_n)$使得$a_0$且$0<a_{n+1}<a_n/2$。定義一系列的緊緻集$E_0\supset E_1\supset E_2\supset \cdots$如下：

• 設$E_0=[0,1]$。
• 對每個$E_n$（$n\in \mathbb{N}$）的線段，去除中間長為$a_n-2a_{n+1}$的開區間，以得到兩個長為長為$a_{n+1}$的閉區間。

現在定義$K=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{E}_n$。可以證明

$\begin{array}{cc}{\dim }_{\mathrm{H}}(K)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{n\log 2}{-\log a_n},\\ {\dim }_{\mathrm{P}}(K)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{n\log 2}{-\log a_n}.\end{array}$

容易知道對給定的數$0\le d_1\le d_2\le 1$，我們可以取序列$(a_n)$使得上面兩個維度分別是$d_1,d_2$。

參見

• 郝斯多夫维度
• 計盒维度

参考資料

• Template:Cite journal