E进制

Template:DISPLAYTITLE Template:NoteTA Template:Table Numeral Systems Template:Math进制是以自然對數的底數——e作為進位制底数的进制。類似於三进制，通常使用0、1、2三个数字來表達，但由於除了0、1和2之外大部分的整數在e进制中皆需要用無窮小數來表示，因此不是一個實用的進位制，但在底數經濟度模型中，e进制被認為是最高效率的進位制。

性質

在e进制中，自然對數的行為與十進制中的常用對數類似，例如：

$\ln 1_{\left(e\right)}=0$

$\ln 10_{\left(e\right)}=1$

$\ln 100_{\left(e\right)}=2$

$\ln 1000_{\left(e\right)}=3$

e进制效率

在底數經濟度模型中，e进制被認為是最高效率的進位制。

當一個數用$x$進位（$x>0,x\in ℝ$）表達時，每個位數需要$x$種符號表達，若要表達一個n位數字要儲存的元素$N(x)$ ：

$N(x)=nx$

而$x$進制系統中表示的n位數的資訊量$I$（$I>x$）則有：

$I=x^n\iff n={\log }_{x}I=\frac{\ln I}{\ln x}$

因此，在$x$進制系統中以n位數能表示I的信息量所需的存儲元素數$N(x)$為：

$N(x)=nx=\ln I\cdot \frac{x}{\ln x}$

在

$\{\begin{array}{cc}{N}^{\prime }(x)<0& 0<x<1\\ N^{\prime }(x)>0& x>1\end{array}$

之下，求出哪個$x$能使$N(x)$最小即可， 即找到能使$N(x)$微分為0的$x$。

$\begin{array}{cc}{N}^{\prime }(x)& =\ln I\cdot {\left(\frac{x}{\ln x}\right)}^{\prime }\\ & =\ln I\cdot \frac{\ln x-1}{{(\ln x)}^2}\\ \end{array}$

在$\ln x=1$時$N^{\prime }(x)$有根$N^{\prime }(x)=0$，

解得$x=e$

因此解得以$e$為底的進位制理論上能有最高的表達效率。

與其他進制比較

e進制中，除了0、1和2之外，其他整數皆需要以無窮不循環小數來表達，其中整數部分可透過貪婪演算法找出。

部分的e進制數

十進制	二進制	e進制	三進制
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10.0200 1120 0001 0101	10
4	100	11.0200 1120 0001 0101	11
5	101	12.0200 1120 0001 0101	12
6	110	20.1110 1110 2102 0120	20
7	111	21.1110 1110 2102 0120	21
8	1000	100.1120 1011 1100 0100	22
9	1001	101.1120 1011 1100 0100	100
10	1010	102.1120 1011 1100 0100	101
11	1011	110.2101 0102 0201 2102	102
12	1100	111.2101 0102 0201 2102	110

无理数的e进制表示

常见无理数的e进制表示如下：

• $\pi$ ≈ Template:FractionalGaps Template:OEIS
• $e$ = Template:進制_(e)（在此記數系統為整數）
• $\sqrt{2}$ ≈ Template:FractionalGaps
• $\phi$ = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ≈ Template:FractionalGaps Template:OEIS

參見

• e (數學常數)
• 廣義的進位制
• 三進制

參考文獻

1. 伊東規之『マイクロコンピュータの基礎』日本理工出版会
2. 桜井進『超・超面白くて眠れなくなる数学』PHP研究所