拉薩爾不變集原理

Template:Expert 拉薩爾不變集原理（LaSalle's invariance principle）也稱為不變集原理（invariance principle）、Barbashin-克拉索夫斯基-拉薩爾原理（Barbashin-Krasovskii-LaSalle principle）或克拉索夫斯基-拉薩爾原理（Krasovskii-LaSalle principle），是自治动力系统（可能是非線性系統）李雅普诺夫稳定性的判斷準則。

全域穩定性版本

考慮以下方程式的系統

$\dot{𝐱}=f\left(𝐱\right)$

其中$𝐱$為符合以下條件的變數向量

$f\left(\mathrm{𝟎}\right)=\mathrm{𝟎}.$

若可以找到$C^1$ 函数 $V(𝐱)$，使下式成立

$\dot{V}(𝐱)\le 0$針對所有$𝐱$（半負定）

則任何軌跡中聚點（accumulation point）的集合都在$ℐ$內， $ℐ$是其完整軌跡完全在$\{𝐱:\dot{V}(𝐱)=0\}$集合的聯集。

若$V$函數又有正定的性質，即

$V(𝐱)>0$，針對所有的$𝐱\ne \mathrm{𝟎}$

$V(\mathrm{𝟎})=0$

而且$ℐ$除了$𝐱(t)=\mathrm{𝟎}$ for $t\ge 0$的平凡軌跡外，未包括其他軌跡，則原點為李雅普诺夫稳定性。

再者，若$V$是徑向無界（radially unbounded）

當$\Vert 𝐱\Vert \to \mathrm{\infty }$時，$V(𝐱)\to \mathrm{\infty }$

原點為全域漸近穩定。

局部穩定性版本

若

$V(𝐱)>0$，當$𝐱\ne \mathrm{𝟎}$時

$\dot{V}(𝐱)\le 0$

當$𝐱$在原點的鄰域$D$內才成立，且集合

$\{\dot{V}(𝐱)=0\}\bigcap D$

除了$𝐱(t)=\mathrm{𝟎},t\ge 0$的軌跡外，不包括其他系統的軌跡，則依照拉薩爾不變集原理的局部穩定版本，原點有局部的漸近穩定性。

和李雅普诺夫稳定性的關係

If $\dot{V}(𝐱)$為負定，則原點的全域漸進穩定是李雅普诺夫第二定理的結果。若$\dot{V}(𝐱)$只是半負定，不變集原理也是判斷漸近穩定性的準則。

例子：有摩擦力的單擺

此段落會用不變集原理來確立簡單系統的區部漸近穩定性。此系統的微分方程如下Template:Ref：

$ml\ddot{\theta }=-mg\sin \theta -kl\dot{\theta }$

其中$\theta$是單擺的角度，以垂直往下的角度為0度，$m$是單擺的質量，$k$是摩擦係數，g是因重力產生的加速度。

因此可以將系統方程式表示如下

${\dot{x}}_1=x_2$

${\dot{x}}_2=-\frac{g}{l}\sin x_1-\frac{k}{m}{x}_2$

利用不變集原理，可以證明一定大小的球體，若初始位置在原點附近$x_1=x_2=0$，可以證明其所有的軌跡都會漸近收斂到原點。定義$V(x_1,x_2)$為

$V(x_1,x_2)=\frac{g}{l}(1-\cos x_1)+\frac{1}{2}{x}_2^2$

$V(x_1,x_2)$即為系統的能量Template:Ref。$V(x_1,x_2)$在原點附近，半徑$\pi$的開球體內為正定。計算其導數

$\dot{V}(x_1,x_2)=\frac{g}{l}\sin x_1{\dot{x}}_1+x_2{\dot{x}}_2=-\frac{k}{m}{x}_2^2$

可觀察到$V(0)=\dot{V}(0)=0$。若$\dot{V}<0$成立，可以依李雅普诺夫第二定理得到所有軌跡都會到達原點的結論。不過很可惜，$\dot{V}\le 0$及$\dot{V}$只是半負定。不過，以下集合

$S=\{(x_1,x_2)|\dot{V}(x_1,x_2)=0\}$

也就是

$S=\{(x_1,x_2)|x_2=0\}$

除了平凡軌跡x = 0外，不包括系統內的任何軌跡。若在特定時間 $t$, $x_2(t)=0$，則因為$x_1$必需小於$\pi$，則$\sin x_1\ne 0$且${\dot{x}}_2(t)\ne 0$。因此，軌跡不會停留在集合$S$內。

不變集原理的所有條件都滿足，也可以下結論說：所有在原點附近的軌距，當$t\to \mathrm{\infty }$時，最後都會收斂到原點Template:Ref。

歷史

此結果是由Template:Link-en（在Template:Link-en）及Template:Link-en兩人獨立發現，兩人分別在1960年及1969年發表。約瑟夫·皮爾·拉薩爾在1960年發表此論文，是西方第一位發表此定理的人，而1952年由Barbashin及尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基曾提到此定理中的特例，而1959年時由克拉索夫斯基發表了一般性的定理Template:Ref。

相關條目

• 穩定性理論
• 李雅普诺夫稳定性

原始論文

• LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF Template:Wayback)
• Template:Cite journal
• Krasovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion, (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

教科書

• Template:Cite book
• Template:Cite book
• Template:Cite book
• Template:Cite book

教材

• 德克萨斯州农工大学不變集原理的講義（PDF）
• 北卡罗来纳州立大学拉薩爾不變集原理的講義（PDF Template:Wayback）
• 加利福尼亞理工學院拉薩爾不變集原理的講義（PDF Template:Wayback）
• 麻省理工学院拉薩爾穩定性分析及不變集原理的開放講程講義（PDF Template:Wayback）
• 普渡大學穩定性理論及拉薩爾不變集原理的講義（PDFTemplate:Dead link）

參考資料

1. Template:Note Lecture notes on nonlinear control Template:Wayback, University of Notre Dame, Instructor: Michael Lemmon, lecture 4.
2. Template:Note ibid.
3. Template:NoteLecture notes on nonlinear analysis Template:Wayback, National Taiwan University, Instructor: Feng-Li Lian, lecture 4-2.
4. Template:Note Vidyasagar, M. Nonlinear Systems Analysis, SIAM Classics in Applied Mathematics, SIAM Press, 2002.