最小上界性

任意的有界非空实数集都有一个最小上界。

数学中，最小上界性（亦称上确界性，Template:Lang-en） 是实数集和其他一些有序集的基础属性，与实数的完备性等价 。 集合Template:Math具有最小上界性当且仅当Template:Math的任意具有上界的非空子集有最小上界 (上确界)。

性質概述

實數

令$S$為實數集的一個非空子集。

• 如果實數$x$大於或等於所有$S$中的元素，則$x$稱為$S$的上界。
• 如果實數$x$是$S$的上界，并且$x$小於或等於所有$S$的上界，則$x$稱為$S$的最小上界。

最小上界性的表述為

所有具有上界的非空實數集都有最小上界，且最小上界為實數。

一般序集合

對任意偏序集合$X$，我們都可以定義$X$的子集的上界和最小上界，只需把前一段落的「實數」改為「$X$的元素」即可。

此處最小上界性的表述為

所有具有上界的$X$的非空子集都有最小上界$x$，并滿足$x\in X$。

有理數集并沒有最小上界性，考慮其子集

$\{x\in \mathbb{Q}|x^2<2\}=\mathbb{Q}\cap (-\sqrt{2},\sqrt{2})$

它有在有理數集中的上界（例如2），但它的最小上界$\sqrt{2}$不在有理數集中。

應用

最小上界性可以用來證明許多實分析中的主要定理