全狀態回授

全狀態回授（Full state feedback）也稱為極點安置（pole placement），是反馈控制系統理論中的一種控制方式，規劃受控體的閉迴路極點在S平面中事先定義的位置上。在規劃控制系統時，會希望可以規劃極點的位置，因為極點位置直接對應系統的特征值，而特征值直接影響系統的反應特性。若要用此方法控制，系統必須有可控制性。在多輸入及多輸出的系統中常用此方式控制，例如主動懸架系統。

原理

開迴路的系統

若系統的開迴路特性可以用狀態方程式來表示

$\dot{\underset{\_}{x}}=𝐀\underset{\_}{x}+𝐁\underset{\_}{u},$

而其輸出方程式為

$\underset{\_}{y}=𝐂\underset{\_}{x}+𝐃\underset{\_}{u},$

則系統轉移函數的極點也就是以下特徵方程的根

$|s\mathbf{\text{I}}-\mathbf{\text{A}}|=0.$

全狀態回授是利用輸入向量$\underset{\_}{u}$來達成。考慮一輸入可以表示為一矩陣和狀態向量的乘積，

有狀態回授的系統（閉迴路）

$\underset{\_}{u}=-𝐊\underset{\_}{x}$.

將輸入向量替換到原來的狀態方程：

$\dot{\underset{\_}{x}}=(𝐀-𝐁𝐊)\underset{\_}{x};$

$\underset{\_}{y}=(𝐂-𝐃𝐊)\underset{\_}{x}.$

全狀態回授系統的極點是矩陣$A-BK$特徵方程的根，$\det [s\mathbf{\text{I}}-(\mathbf{\text{A}}-\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{K}})]=0$。比較方程式的項以及理想特徵方程的係數，可以得到回授矩陣$\mathbf{\text{K}}$的值，也就是讓閉迴路特徵值在理想特徵方程極點上的對應矩陣。

全狀態回授的例子

考慮狀態方程如下的控制系統

$\dot{\underset{\_}{x}}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right]\underset{\_}{x}+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\underset{\_}{u}$

控制前的系統其閉迴路極點在$s=-1$及$s=-2$。假設為了響應的考量，需讓閉迴路極點在$s=-1$及$s=-5$。理想特徵方程為$s^2+6s+5=0$。

依上述步驟，可得$𝐊=\left[\begin{array}{cc}{k}_1& k_2\end{array}\right]$，而全狀態回授的系統特徵方程為

$|s𝐈-(𝐀-𝐁𝐊)|=\det \left[\begin{array}{cc}s& -1\\ 2+k_1& s+3+k_2\end{array}\right]=s^2+(3+k_2)s+(2+k_1)$.

讓此特徵方程等於理想特徵方程，因此可得

$𝐊=\left[\begin{array}{cc}3& 3\end{array}\right]$.

因此，$\underset{\_}{u}=-𝐊\underset{\_}{x}$可以使閉迴路極點在理想位置上，讓響應也是理想值。

此作法只在單一輸入的系統有效。多重輸入的系統也會有K矩陣，但不唯一。因此不一定可以很快找到最佳的K值。此情形比較適合使用LQR控制器。

相關條目

• 極點分離
• 階躍響應

外部連結

• Mathematica function to compute the state feedback gainsTemplate:Wayback
• Design and Analysis of Full-state Feedback Controller for a Tractor Active SuspensionTemplate:Wayback