相等

Template:NoteTA 在數學的領域中，若兩個数学对象在各个方面都相同，则称他们是相等的。这就定义了一个二元谓词等于，写作“$=$”；$x=y$当且仅当$x$和$y$相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式，例如$6-2=4$，即$6-2$與$4$是相等的。

注意，有些时候“$A=B$”并不表示等式。例如，$T(n)=O(n^2)$表示在数量级$n^2$上渐进。因為这裡的符号“$=$”不滿足若且唯若的定義，所以它不等於等于符号；实际上，$O(n^2)=T(n)$是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。

等价二元关系的表格

集合$A$上的等于关系是种二元关系，满足自反性，对称性，反对称性和传递性。 实际上，这是$A$ 上唯一满足所有这些性质的关系。 去掉对反对称性的要求，就是等价关系。 相应的，给定任意等价关系$R$，可以构造商集$A/R$，并且这个等价关系将‘下降为’$A/R$上的等于。

在任何条件下都成立的等式称为恒等式，包含未知数的等式称为方程式。

邏輯形式

謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理來形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在17世紀提出來的。 萊布尼茨的想法是，兩樣物體是同一的，當且僅當它們有完全相同的性質。 形式化這一說法，可以寫成

對任意$x$和$y$，$x=y$當且僅當對任意謂詞$P$ ，$P(x)$當且僅當$P(y)$。

然而，在一階邏輯中，不能對謂詞進行量化。因此，需要使用下述公理：

對任意$x$和$y$，若$x$等於$y$，則$P(x)$當且僅當$P(y)$。

這條公理對任意單變量的謂詞$P$都有效，但只定義了萊布尼茨律的一個方向：若$x$和$y$相等，則它們具有相同的性質。 可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向：

對任意$x$，$x$等於$x$。

則若$x$和$y$具有相同的性質，則特定的它們關於謂詞$P$是相同的。這裡謂詞$P$為：$P(z)$當且僅當$x=z$。 由於$P(x)$成立，$P(y)$必定也成立（相同的性質），所以$x=y$（' '$P$的變量為$y$）.

等于的一些基本性质

替代性

Template:Seealso 对任意量$a$和$b$和任意表达式$F(x)$，若$a=b$，则$F(a)=F(b)$（设等式两边都有意义）。 在一阶逻辑中，不能量化像$F$这样的表达式（它可能是个函数谓词）。 一些例子：

• 对任意实数$a,b,c$，若$a=b$，则$a+c=b+c$（这里$F(x)$为$x+c$）
• 对任意实数$a,b,c$，若$a=b$，则$a-c=b-c$（这里$F(x)$为$x-c$）
• 对任意实数$a,b,c$，若$a=b$，则$ac=bc$（这里$F(x)$为$xc$）
• 对任意实数$a,b,c$，若$a=b$且$c\ne 0$，则$a/c=b/c$（这里$F(x)$为$x/c$）

自反性

对任意量$a$，$a=a$。

这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。

对称性

例子：如果$a=b$，那么$b=a$

传递性

例子：如果$a=b$，$b=c$，那么$a=c$

实数或其他对象上的二元关系“约等于”，即使进行精确定义，也不具有传递性（即使看上去有，但许多小的差能够叠加成非常大）。然而，在绝大多数情况下，等于具有传递性。

尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。

符号的历史

Template:Main 「等于」符号或 「$=$」被用来表示一些算术运算的结果，是由罗伯特·雷科德在1557年发明的。

由于觉得书写文字过于麻烦，雷科德在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。

约等于的符号是$\approx$或≒，不等于的符号是$\ne$。

参见

• 等号

外部链接

• 关系符号的早期使用（英文）