博赫纳公式

在微分几何中，博赫纳公式是将黎曼流形 $(M,g)$ 上的调和函数与里奇曲率张量联系在一起的公式。它以美国数学家所罗门·博赫纳的名字命名。

数学表述

具体地说，如果 $u:M\to ℝ$ 是一个调和函数（即${\mathrm{\Delta }}_{g}u=0$，其中 ${\mathrm{\Delta }}_g$ 是关于度规 $g$ 的拉普拉斯算子），则

$\mathrm{\Delta }\frac{1}{2}|\mathrm{\nabla }u{|}^2=|{\mathrm{\nabla }}^{2}u{|}^2+\text{Ric}(\mathrm{\nabla }u,\mathrm{\nabla }u)$,

其中 $\mathrm{\nabla }u$ 是 $u$ 关于 $g$的梯度。 博赫纳使用这一公式来证明博赫纳消没定理。

变化和推广

• 博赫纳恒等式
• Weitzenböck恒等式