K類函數

$𝒦$類函數（Class kappa function）也稱為是在控制理論中判斷非自治系統（nonautonomous system）是否穩定時會用到的一類函數，會將其他函數和$𝒦$類函數比較，以確認系統的穩定性。

連續函數$\alpha :[0,a)\to [0,\mathrm{\infty })$若滿足以下條件，則屬於$𝒦$類函數：

• 函數嚴格遞增。
• 函數滿足$\alpha (0)=0$。

連續函數$\alpha :[0,a)\to [0,\mathrm{\infty })$若滿足以下條件，則屬於${𝒦}_{\mathrm{\infty }}$類函數：

• 函數屬於$𝒦$類函數。
• 函數的定義域範圍可以到無限大，$a=\mathrm{\infty }$.
• 函數滿足$\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }\alpha (r)=\mathrm{\infty }$.

若一非遞減的正定函數$\beta$滿足所有$𝒦$類（或${𝒦}_{\mathrm{\infty }}$類）函數的條件，只有嚴格遞增條件不滿足，可以用以下的方式讓此函數的上下界用$𝒦$類（或${𝒦}_{\mathrm{\infty }}$類）函數來表示：

$\beta (x)\frac{x}{x+1}<\beta (x)<\beta (x)(\frac{x}{x+1}+1)=\beta (x)\frac{2x+1}{x+1},x\in (0,a).$

$𝒦ℒ$類函數

連續函數$\beta :[0,a)\times [0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty })$若滿足以下條件，則屬於$𝒦ℒ$類函數：

• 對於每一個固定的$s$，函數$\beta (r,s)$屬於$𝒦$類函數
• 對於每一個固定的$r$，函數$\beta (r,s)$會隨著$s$遞減，而且當$s\to \mathrm{\infty }$時，$\beta (r,s)\to 0$。

參考資料

• H. K. Khalil, Nonlinear systems, Prentice-Hall 2001. Sec. 4.4 - Def. 4.2.