到达域

$f$是一個將所有定義域$X$(紅色區塊)中的點$x\in X$對應到點$f(x)\in Y$的函數。蒐集所有點$f(x)$的集合(黃色區塊)為函數$f$的值域，$Y$(藍色區塊)為$f$的對應域。

對應域（Template:Lang-en），或稱為陪-{}-域、餘定義域、上-{}-域、终域、共变域、目標集合。

在數學領域中，一個函數的對應域指的是至少包含所有此函數的輸出值的一個集合。在函數符號$f:X\to Y$中，$Y$是函數$f$的對應域。

$f$的值域是$Y$的一個子集，若$f$是一個滿射函數，則$f$的對應域和值域相等，反之則代表有$y\in Y$不存在於$f$的值域中，使得方程式$f(x)=y$無解。

例

例一

定義三個函數：

$f:ℝ\to ℝ,f(x)=x^2$

$g:ℝ\to {ℝ}_0^{+},g(x)=x^2$

$h:{ℝ}_0^{+}\to ℝ,h(x)=\sqrt{x}$

其中${ℝ}_0^{+}={ℝ}^{+}\cup \{0\}$。

1. 因為$f(x)=x^2$，函數$f$的輸出值皆為非負數，所以$f$的值域為${ℝ}_0^{+}$，也就是$[0,\mathrm{\infty })$區間。又因${ℝ}_0^{+}\subset ℝ$，即$f$的對應域不等於值域，所以$f$不是一個滿射函數。
2. 雖然$f$和$g$函數的輸出值相同，但因為兩者的對應域不同，因此不是相同的函數。
3. 因為$f$的對應域不等於$h$的定義域，合成函數 $h\circ f$為無效的函數。唯有合成符號右側函數的對應域和左側函數的定義域相同時，該合成函數才有效，例如$h\circ g$。

例二

定義$T$為介於兩個線性空間的線性變換：

$T:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$

$T$也可以被表達成一個Template:Math的實數矩陣，代表一個從定義域${ℝ}^2$到對應域${ℝ}^2$的對應方式。 假設

$T=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right]$

則代表把所有定義域中的點$(x,y)\in {ℝ}^2$ 對應到對應域中的點 $(x,x)\in {ℝ}^2$。由於$T$的值域只蒐集了所有$x=y$的點，例如點$(2,3)$不在$T$的值域中，但在$T$的對應域${ℝ}^2$中，因此$T$不是一個滿射函數。

在此例中，Template:Math的矩陣在秩（Template:Lang）等於2時，為滿射函數，小於2時則非。對應域和值域是否相等可做為判斷矩陣是否有滿秩（Template:Lang）的依據，因為$T$的值域小於對應域，所以$T$沒有滿秩。

相关条目

• 定义域
• 值域
• 函數