指數映射 (黎曼幾何)

過北極的切面，到地面表面的指數映射，地圖學稱為Template:Link-en。

黎曼几何中，指數映射${\exp }_p$（Template:Lang-en）是由某（偽）黎曼流形$M$切空间$T_{p}M$的子集，到$M$本身的映射。（伪）黎曼度量對應某個典範仿射聯絡，而（伪）黎曼流形的指数映射就是这个聯絡的指数映射。直觀理解，由起點$p$出發，以揀選切向量$v\in T_{p}M$為速度，沿流形上的「直線」行單位時間，到達的終點就是${\exp }_p(v)$。

定義

設$M$為微分流形，$p$為$M$上一點。利用$M$上的仿射联络，可以定義過$p$點的測地線。

設$v\in T_{p}M$為於$p$點的切向量，則獨有一條测地线${\gamma }_v$滿足${\gamma }_v(0)=p$，而初始切向量為${{\gamma }_v}^{\prime }(0)=v$。對應的指數映射${\exp }_p$由

${\exp }_p(v)={\gamma }_v(1)$

定義。一般而言，指數映射不必在全個$T_{p}M$有定義，而衹有局部定義，即定義域是$T_{p}M$原點的小鄰域，映到$p$在流形上的某鄰域內。原因是，測地線之所以存在（和唯一），藉賴常微分方程解的柯西-利普希茨定理，但該定理是僅在局部成立。若指數映射在切丛處處有定義，則該線性聯絡稱為完備。

參考資料

• Template:Citation.