逆变换采样

正态分布的逆变换采样

逆变换采样（Template:Lang-en），又称为逆万流齐一或逆萬流歸宗（Template:Lang）、逆概率积分变换（Template:Lang）、逆变换法（Template:Lang）、斯米尔诺夫变换（Template:Lang）、黄金法则（Template:Lang）等，是Template:Le的一种基本方法。在已知任意概率分布的累积分布函数时，可用于从该分布中生成随机样本。

假设$X$为一个连续随机变量，其累积分布函数为$F_X$。此时，随机变量$Y=F_X(X)$服从区间[0, 1]上的均匀分布。逆变换采样即是将该过程反过来进行：首先对于随机变量$Y$，我们从0至1中随机均匀抽取一个数$u$。之后，由于随机变量$F_X^{-1}(Y)$与$X$有着相同的分布，$x=F_X^{-1}(u)$即可看作是从分布$F_X$中生成的随机样本。

示例

假设有一个累积分布函数

$\begin{array}{c}F(x)=1-\exp (-\sqrt{x}),\end{array}$

我们要从该分布中生成随机样本。$F(x)$的反函数为：

$\begin{array}{cc}F(F^{-1}(u))& =u\\ 1-\exp (-\sqrt{F^{-1}(u)})& =u\\ F^{-1}(u)& =(-\log (1-u){)}^2\\ & =(\log (1-u){)}^2.\end{array}$

于是，我们先从0至1中随机均匀抽取$u$，然后计算$F^{-1}(u)=(\log (1-u){)}^2$以得到我们需要的样本。

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