泊松李群

泊松李群 (Poisson-Lie group) 是一种几何结构，也是李群和泊松流形，而且两种结构自洽。它的李群直积 $G\times G⟶G$是泊松映射。它是經典力學和泊松几何学的有力的例子，也是表示論研究对象之一。 它在无穷小尺度的形式就是李双代数。

定义

泊松-李群是一个具有泊松括号的李群 $G$，其群乘法定义为 $\mu :G\times G\to G$，其中 $\mu (g_1,g_2)=g_1{g}_2$ 为泊松映射，其中流形 $G\times G$ 赋予了乘积泊松流形的结构。

对于泊松李群，以下等式恒成立：

$\{f_1,f_2\}(g{g}^{\prime })=\{f_1\circ L_g,f_2\circ L_g\}(g^{\prime })+\{f_1\circ R_{g^{\prime }},f_2\circ R_{g^{\prime }}\}(g)$

其中约定 $f_1,f_2$ 是定义在泊松李群上的实数值的光滑函数，$g,g^{\prime }$为群中任意的元素，$L$ 为元素的左乘，$R$ 为元素的右乘。

记 $𝒫$ 为泊松李群 $G$ 对应的泊松双向量（Poisson bivector），上述恒等式有等价形式：

$𝒫(g{g}^{\prime })=L_{g*}(𝒫(g^{\prime }))+R_{g^{\prime }*}(𝒫(g))$

特别的，如果取 $g=g^{\prime }=e$ , 以上等式即为 $𝒫(e)=\{f,g\}(e)=0$ 。对单位元 $e$ 使用韦恩斯坦分裂定理 Template:Wayback（Weinstein splitting theorem），可得知非平凡的泊松李群一定不具有辛结构，甚至不具有恒定的秩。

参考书目

• Vyjayanthi Chari, Andrew Pressley: A Guide to Quantum Groups, ISBN 0-521-55884-0