米塔-列夫勒函数

Mittag-Leffler function 2D plot

Mittag-Leffler function Imaginary 3D plot1

Mittag-Leffler function Imaginary 3D plot2

米塔-列夫勒函数(Mittag-Leffler function)是一个特殊函数，常用于分数微积分方程，定义如下

$E_{a,b}(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{\mathrm{\Gamma }(ak+b)}$

特例

对应 $a=0,1/2,1,2$ 有

$E_{0,1}(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^k=\frac{1}{1-z}.$

指数函数:

$E_{1,1}(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{\mathrm{\Gamma }(k+1)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k!}=\exp (z).$

误差函数:

$E_{1/2,1}(z)=\exp (z^2)\mathrm{erfc}(-z).$

双曲余弦:

$E_{2,1}(z)=\cosh (\sqrt{z}).$

对应 $a=0,1,2$, ：

$\underset{0}{\overset{z}{\int }}{E}_{\alpha ,1}(-s^2)\mathrm{d}s$ 有下列积分式

$\arctan (z)$,

$\frac{\sqrt{\pi }}{2}\mathrm{erf}(z)$,

$\sin (z)$.

参考文献

• Mittag-Leffler, M.G.: Sur la nouvelle fonction E(x). C. R. Acad. Sci. Paris 137, 554–558 (1903)
• Mittag-Leffler, M.G.: Sopra la funzione E˛.x/. Rend. R. Acc. Lincei, (Ser. 5) 13, 3–5 (1904)
• Gorenflo R., Kilbas A.A., Mainardi F., Rogosin S.V., Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications (Springer, New York, 2014) Template:Wayback 443 pages ISBN 978-3-662-43929-6

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