二元小波轉換

ʂTemplate:多個問題 二元小波轉換(Dyadic Wavelet Transform)是縮放以二的級數為基底且取樣過後的小波轉換，但沒有時間取樣。

定義

$\mathrm{f}$的二元小波轉換的定義為：

$Wf(u,2^i)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\frac{1}{\sqrt{2^i}}\psi (\frac{t-u}{2^i})\mathrm{d}t=f*{\overline{\psi }}_{2^i}(u)$

其中${\overline{\psi }}_{2^i}={\psi }_{2^i}(-t)=\frac{1}{\sqrt{2^i}}\psi (\frac{-t}{2^i})$

它也定義了一個穩定(stable)、完整(complete)的表示式，如果它的Heisenberg boxes囊括了所有的頻率軸，也就是存在一個$\mathrm{A}$和$\mathrm{B}$使得

$\mathrm{\forall }\omega \in ℝ,\mathrm{A}⩽\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\left|\widehat{\psi (2^{i}u)}\right|}^2⩽\mathrm{B}$

所有的二元小波都是$L^2(R)$ 的 frame (Frames are a stable, possibly redundant, representation of signals.)。

應用

快速二元小波轉換 (Fast Dyadic Wavelet Transform, FDWT) 使用與快速小波轉換(Fast Wavelet Transform)相同的濾波器進行轉換，但是差別在於不需要再進行次採樣(subsampling)，時常用在擷取音樂訊號的Onset。

參考資料

• Dyadic Wavelet Transform -{R|http://cas.ensmp.fr/~chaplais/Wavetour_presentation/ondelettes%20dyadiques/Dyadic_Transform.html}-Template:Wayback