Meijer G-函数

Meijer G-函数是荷兰数学家梅耶尔引入的一种特殊函数。它是广义超几何函数的推广，绝大多数的特殊函数都可以用 Meijer Template:Mvar-函数表示出来。

定义

广义超几何函数有下列一般的积分表达式（参见相关小节）：

$(\prod _{k=1}^p\mathrm{\Gamma }(a_k)/\prod _{k=1}^q\mathrm{\Gamma }(b_k)){}_p{F}_q[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_p\\ b_1& b_2& \dots & b_q\end{array};z]=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }(\prod _{k=1}^p\mathrm{\Gamma }(a_k+s)/\prod _{k=1}^q\mathrm{\Gamma }(b_k+s))\mathrm{\Gamma }(-s)(-z{)}^s\mathrm{d}s$

其中积分路径 Template:Mvar 视参数 Template:Mvar, Template:Mvar 的相对大小而定。上面的积分表达式具有 Mellin 逆变换的形式。

Meijer-Template:Mvar 函数是上面积分表达式的一个推广，它的定义为：

$G_{p,q}^{m,n}[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_p\\ b_1& b_2& \dots & b_q\end{array};z]=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }{z}^s(\prod _{k=1}^n\mathrm{\Gamma }(1-a_k+s)/\prod _{k=m+1}^q\mathrm{\Gamma }(1-b_k+s))/(\prod _{k=n+1}^p\mathrm{\Gamma }(a_k-s)/\prod _{k=1}^m\mathrm{\Gamma }(b_k-s))\mathrm{d}s$

其中积分路径 Template:Mvar 视参数的相对大小而定。但是，为了保证至少一条积分路径有定义，要求

$a_k-b_l\notin {\mathbb{Z}}^{+},\mathrm{\forall }k=1,2,\dots ,n;l=1,2,\dots ,m$

在书写 Meijer-Template:Mvar 函数时要注意，上标中的第一个参数和下标中的第二个参数对应的是 Template:Mvar_{Template:Mvar}，而上标中的第二个参数和下标中的第一个参数对应的是 Template:Mvar_{Template:Mvar}。

对比上述两式可以得到广义超几何函数和 Meijer-Template:Mvar 函数的关系：

$\begin{array}{cc}& \frac{\prod _{k=1}^p\mathrm{\Gamma }(a_k)}{\prod _{k=1}^q\mathrm{\Gamma }(b_k)}{}_p{F}_q[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_p\\ b_1& b_2& \dots & b_q\end{array};z]\\ =& G_{p,q+1}^{1,p}[\begin{array}{cccc}1-a_1& 1-a_2& \dots & 1-a_p\\ 0& 1-b_1& \dots & 1-b_q\end{array};-z]\\ =& G_{q+1,p}^{p,1}[\begin{array}{cccc}1& b_1& \dots & b_q\\ a_1& a_2& \dots & a_p\end{array};-\frac{1}{z}]\end{array}$

基本性质

和广义超几何函数一样，如果上下两个向量组在合适的位置有相同的元素，则 Meijer-Template:Mvar 函数可以降阶，此处不再赘述。

一般关系式

Meijer-Template:Mvar 函数的导函数具有下列性质：

$z^h\frac{{\mathrm{d}}^h}{\mathrm{d}{z}^h}{G}_{p,q}^{m,n}\left(\begin{array}{c}{𝐚}_{𝐩}\\ {𝐛}_{𝐪}\end{array}|z\right)=G_{p+1,q+1}^{m,n+1}\left(\begin{array}{c}0,{𝐚}_{𝐩}\\ {𝐛}_{𝐪},h\end{array}|z\right)=(-1{)}^h{G}_{p+1,q+1}^{m+1,n}\left(\begin{array}{c}{𝐚}_{𝐩},0\\ h,{𝐛}_{𝐪}\end{array}|z\right),$

注意 Template:Mvar 可以取任意整数值，取负数时表示不定积分。

另一方面，

$z^{\rho }{G}_{p,q}^{m,n}\left(\begin{array}{c}{𝐚}_{𝐩}\\ {𝐛}_{𝐪}\end{array}|z\right)=G_{p,q}^{m,n}\left(\begin{array}{c}{𝐚}_{𝐩}+\rho \\ {𝐛}_{𝐪}+\rho \end{array}|z\right),$

$G_{p,q}^{m,n}\left(\begin{array}{c}{𝐚}_{𝐩}\\ {𝐛}_{𝐪}\end{array}|z\right)=G_{q,p}^{n,m}\left(\begin{array}{c}1-{𝐛}_{𝐪}\\ 1-{𝐚}_{𝐩}\end{array}|z^{-1}\right),$

$(z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}-a_1+1)G_{p,q}^{m,n}\left(\begin{array}{c}{𝐚}_{𝐩}\\ {𝐛}_{𝐪}\end{array}|z\right)=G_{p,q}^{m,n}\left(\begin{array}{c}{a}_1-1,a_2,\dots ,a_p\\ {𝐛}_{𝐪}\end{array}|z\right)n\ge 1.$

$(a_p-z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}-1)G_{p,q}^{m,n}\left(\begin{array}{c}{𝐚}_{𝐩}\\ {𝐛}_{𝐪}\end{array}|z\right)=G_{p,q}^{m,n}\left(\begin{array}{c}{a}_1,a_2,\dots ,a_p-1\\ {𝐛}_{𝐪}\end{array}|z\right)n\le p-1.$

$(z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}-b_q)G_{p,q}^{m,n}\left(\begin{array}{c}{𝐚}_{𝐩}\\ {𝐛}_{𝐪}\end{array}|z\right)=G_{p,q}^{m,n}\left(\begin{array}{c}{𝐚}_{𝐩}\\ b_1,b_2,\dots ,b_q+1\end{array}|z\right)m\le q-1.$

$(b_1-z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z})G_{p,q}^{m,n}\left(\begin{array}{c}{𝐚}_{𝐩}\\ {𝐛}_{𝐪}\end{array}|z\right)=G_{p,q}^{m,n}\left(\begin{array}{c}{𝐚}_{𝐩}\\ b_1+1,b_2,\dots ,b_q\end{array}|z\right)m\ge 1.$

上面的式子都可以直接由定义得到。

向量组中两个元素相差整数时的关系式

由

$\frac{\mathrm{\Gamma }(1-u+s)}{\mathrm{\Gamma }(1-v+s)}=(-1{)}^{u-v}\frac{\mathrm{\Gamma }(v-s)}{\mathrm{\Gamma }(u-s)},u-v\in \mathbb{Z}$

又有

$G_{p+2,q}^{m,n+1}\left(\begin{array}{c}\alpha ,{𝐚}_{𝐩},{\alpha }^{\prime }\\ {𝐛}_{𝐪}\end{array}|z\right)=(-1{)}^{{\alpha }^{\prime }-\alpha }{G}_{p+2,q}^{m,n+1}\left(\begin{array}{c}{\alpha }^{\prime },{𝐚}_{𝐩},\alpha \\ {𝐛}_{𝐪}\end{array}|z\right),n\le p,{\alpha }^{\prime }-\alpha \in \mathbb{Z},$

$G_{p,q+2}^{m+1,n}\left(\begin{array}{c}{𝐚}_{𝐩}\\ \beta ,{𝐛}_{𝐪},{\beta }^{\prime }\end{array}|z\right)=(-1{)}^{{\beta }^{\prime }-\beta }{G}_{p,q+2}^{m+1,n}\left(\begin{array}{c}{𝐚}_{𝐩}\\ {\beta }^{\prime },{𝐛}_{𝐪},\beta \end{array}|z\right),m\le q,{\beta }^{\prime }-\beta \in \mathbb{Z},$

$G_{p+1,q+1}^{m,n+1}\left(\begin{array}{c}\alpha ,{𝐚}_{𝐩}\\ {𝐛}_{𝐪},\beta \end{array}|z\right)=(-1{)}^{\beta -\alpha }{G}_{p+1,q+1}^{m+1,n}\left(\begin{array}{c}{𝐚}_{𝐩},\alpha \\ \beta ,{𝐛}_{𝐪}\end{array}|z\right),m\le q,\beta -\alpha =0,1,2,\dots ,$

微分方程

由上面一般关系式一节的讨论知 Meijer-Template:Mvar 函数满足下列微分方程，它与广义超几何函数满足的微分方程形式上很类似。

$[(-1{)}^{p-m-n}z\prod _{k=1}^p(z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}-a_k+1)-\prod _{k=1}^q(z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}-b_k)]w=0,w(z)=G_{p,q}^{m,n}[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_p\\ b_1,\dots ,b_q\end{array};z]$.

这是一个 max(Template:Mvar,Template:Mvar) 阶的线性微分方程，在 Template:Mvar=0 附近的基本解组可以选取为

$\{\begin{array}{cc}{G}_{p,q}^{1,p}(\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_p\\ b_h,b_1,\dots ,b_{h-1},b_{h+1},\dots ,b_q\end{array}|(-1{)}^{p-m-n+1}z),h=1,2,\dots ,q,& \text{ if }p⩽q\\ G_{p,q}^{q,1}(\begin{array}{c}{a}_h,a_1,\dots ,a_{h-1},a_{h+1},\dots ,a_p\\ b_1,\dots ,b_q\end{array}|(-1{)}^{q-m-n+1}z),h=1,2,\dots ,p,& \text{ if }p⩾q\end{array}$

当 Template:Mvar=Template:Mvar 时两种取法都可以。

从 Template:Mvar, Template:Mvar 的取值上就可以看到它们跟广义超几何函数有直接的联系。事实上的确如此，以第一种情况为例，

$G_{p,q}^{1,p}(\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_p\\ b_h,b_1,\dots ,b_{h-1},b_{h+1},\dots ,b_q\end{array}|(-1{)}^{p-m-n+1}z)=z^{b_h}{G}_{p,q}^{1,p}(\begin{array}{c}{a}_1-b_h,\dots ,a_p-b_h\\ 0,b_1-b_h,\dots ,b_{h-1}-b_h,b_{h+1}-b_h,\dots ,b_q\end{array}|(-1{)}^{p-m-n+1}z)$

等号右边的 Meijer-Template:Mvar 函数显然就是广义超几何函数。

特殊情形

因为广义超几何函数是 Meijer-Template:Mvar 函数的特殊情形，故所有可以用广义超几何函数表示的特殊函数都可以用 Meijer-Template:Mvar 函数表示，但是，在个别情况下，用 Meijer-Template:Mvar 函数有更简单的表示式，例子如诺依曼函数，它可以用超几何函数₀F₁表示，但表示式仅仅是将（第一类）贝塞尔函数的超几何函数表示式代入其定义式中，因此含有两个超几何函数。而用 Meijer-Template:Mvar 函数就可以直接表示为：

$Y_{\nu }(z)=G_{1,3}^{2,0}\left(\begin{array}{c}\frac{-\nu -1}{2}\\ \frac{\nu }{2},\frac{-\nu }{2},\frac{-\nu -1}{2}\end{array}|\frac{z^2}{4}\right),\frac{-\pi }{2}<\arg z\le \frac{\pi }{2}$

另外一个例子是不完全伽玛函数对参变量的偏导数，它无法用广义超几何函数表出，但可以用 Meijer-Template:Mvar 函数表出：

$\frac{\partial \mathrm{\Gamma }(a,z)}{\partial a}=\mathrm{\Gamma }(a,z)\ln z+G_{2,3}^{3,0}\left(\begin{array}{c}1,1\\ a,0,0\end{array}|z\right)$

事实上，不完全伽玛函数对参变量的高阶偏导数也可以用 Meijer-Template:Mvar 函数表出，详见不完全Γ函数一文。

推广

如同广义超几何函数和Kampé de Fériet函数（双变量的广义超几何函数）的关系那样，Meijer G-函数也可以被推广到两个变量的情况： $G_{p,q,u_1,v_1,u_2,v_2}^{m,n,s_1,t_1,s_2,t_2}[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_p;c_{1,1},\dots ,c_{1,u_1};c_{2,1},\dots ,c_{2,u_2};\\ b_1,\dots ,b_q;d_{1,1},\dots ,d_{1,v_1};d_{2,1},\dots ,d_{2,v_2};\end{array}z,w]=-\frac{1}{4{\pi }^2}\underset{ℒ}{\int }\underset{{ℒ}^{\prime }}{\int }\frac{\prod _{k=1}^m\mathrm{\Gamma }(b_k+\sigma +\tau )\prod _{k=1}^n\mathrm{\Gamma }(1-a_k-\sigma -\tau )}{\prod _{k=n+1}^p\mathrm{\Gamma }(a_k+\sigma +\tau )\prod _{k=m+1}^q\mathrm{\Gamma }(1-a_k-\sigma -\tau )}\frac{\prod _{k=1}^{s_1}\mathrm{\Gamma }(d_{1,k}+\sigma )\prod _{k=1}^{t_1}\mathrm{\Gamma }(1-c_{1,k}-\sigma )}{\prod _{k=t_1+1}^{u_1}\mathrm{\Gamma }(c_{1,k}+\sigma )\prod _{k=s_1+1}^{v_1}\mathrm{\Gamma }(1-d_{1,k}-\sigma )}\frac{\prod _{k=1}^{s_2}\mathrm{\Gamma }(d_{2,k}+\tau )\prod _{k=1}^{t_2}\mathrm{\Gamma }(1-c_{2,k}-\tau )}{\prod _{k=t_2+1}^{u_2}\mathrm{\Gamma }(c_{2,k}+\tau )\prod _{k=s_2+1}^{v_2}\mathrm{\Gamma }(1-d_{2,k}-\tau )}{z}^{-\sigma }{w}^{-\tau }d\sigma d\tau /;m,n,s_1,t_1,s_2,t_2,p,q,u_1,v_1,u_2,v_2\in \mathbb{N},m\le q,n\le p,s_1\le v_1,t_1\le u_1,s_2\le v_2,t_2\le u_2$

参考文献

• Template:Dlmf
• Template:Cite journal
• Template:Cite book (see Chapter V, "The Generalized Hypergeometric Function and the G-Function", p. 136)
• Template:Cite web

外部链接

• Template:Mathworld