施瓦茨三角形

Template:NoteTA 在幾何學中，施瓦茨三角形（Template:Lang-en）是一個球面三角形，可用於球面鑲嵌，透過在其邊緣反射，但是可能會重疊。他們被歸類於施瓦茨1873。

施瓦茨三角形除了可以定義在球面之外，也可以定義於歐幾里得平面或雙曲面，而做成便面鑲嵌或雙曲面鑲嵌。在球面上的每個施瓦茨三角形定義了一個有限群，而在歐氏或雙曲平面，則會定義出一個無限群。

施瓦茨三角形是由三個有理數(p q r)來代表每個頂點的角度。值n/d表示的頂角為半圓的d/n，“2”表是一個直角。若p、q、r皆為整數，則將其稱為莫比烏斯三角形（Template:Lang-en）並且對應於一個沒有重疊的鑲嵌，其對稱群稱為一個三角群。在球面移共有3個莫比烏斯三角形加一個單參數族；在歐氏平面上有三個莫比烏斯三角形；而在羅氏雙曲空間中有三個參數族的莫比烏斯三角形，並沒有特例。

空間

施瓦茨三角形所屬的空間取決於其p、q、r值：

$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\{\begin{array}{cc}>1& ⟹\text{球 面}\\ =1& ⟹\text{歐 氏 平 面}\\ <1& ⟹\text{羅 氏 平 面 （雙 曲 面）}\end{array}$$

圖形表示

施瓦茨三角形可以用三角圖來表示。每個節點表示施瓦茨三角形的邊（鏡射）。每條邊是由相應的反射階數合理的數值標示，即π/頂點角。

Schwarz triangle (p q r) on sphere

Schwarz triangle graph

2階邊代表垂直於鏡射，可以在該圖中被忽略。在考克斯特 - 迪肯符號表示三角形圖中會隱藏2階邊。 考克斯特組可用於更簡單的符號，如(p q r)的循環圖，(p q 2) = [p,q](直角三角形)，和(p 2 2) = [p]×[]。

參考文獻

• Coxeter, Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (Table 3: Schwarz's Triangles)
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外部連結

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