Q-模拟：修订间差异

2021年2月8日 (一) 16:26的最新版本

在数学里，尤其是组合数学和特殊函数领域，一个定理、等式或者表达式的q-模拟是指在引入一个新的参数q后当q→1时原定理、等式或表达式的极限。最早地研究得较为深入的q-模拟是 19世纪^[1]被引入的基本超几何级数。

q-模拟在包括分形、多重分形, 混沌动力系统的熵表达在内的多个研究领域都有应用。另外，在量子群和 q-变形代数的研究中也有应用。

"经典" q-模拟开始于莱昂哈德·欧拉的研究工作，后来由F. H. Jackson^[2] 以及其他人^[3]所扩展。

经典 q-理论开始于非负整数的q-模拟。^[3] 等式

$\lim_{q \to 1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = n$

表示定义n的q-模拟为

$[n]_{q} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = 1 + q + q^{2} + \dots + q^{n - 1} .$

阶乘的q-模拟，称作q-阶乘，被定义为

$[n]_{q}!$ $= [1]_{q} \cdot [2]_{q} \dots [n - 1]_{q} \cdot [n]_{q}$

$= \frac{1 - q}{1 - q} \cdot \frac{1 - q^{2}}{1 - q} \dots \frac{1 - q^{n - 1}}{1 - q} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$

$= 1 \cdot (1 + q) \dots (1 + q + \dots + q^{n - 2}) \cdot (1 + q + \dots + q^{n - 1}) .$

[n]_q! 表示逆序对的数目。如果 inv(w)表示全排列w 的逆序对，S_n表示n全排列的集合, 则有

$\sum_{w \in S_{n}} q^{inv (w)} = [n]_{q}! .$

特别地, 当取极限 $q \to 1$ 时就得到一般的阶乘公式。

根据q-阶乘, 可以定义 q-二项式系数, 也被称作高斯系数, 高斯多项式, 或高斯二项式系数:

${(\binom{n}{k})}_{q} = \frac{[n]_{q}!}{[n - k]_{q}! [k]_{q}!} .$

q-指数定义为:

$e_{q}^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{[n]_{q}!} .$

高斯二项式系数计算一个有限维向量空间的子空间数。令q表示一个有限域里的元素数目，则在q元有限域上n维向量空间的k维子空间数等于 ${(\binom{n}{k})}_{q} .$ 当q等于1时, 得到二项式系数 $(\binom{n}{k}) .$

↑ Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538
↑ F. H. Jackson (1908), "On q-functions and a certain difference operator", Trans. Roy. Soc. Edin., 46 253-281.
↑ ^3.0 ^3.1 Template:Cite journal