依概率收敛

在概率论中，依概率收敛是随机变量收敛的方式之一。一个随机变量序列$(X_n{)}_{n\ge 1}$ 依概率收敛到某一个随机变量$X$，指的是$X_n$ 和$X$ 之间存在一定差距的可能性将会随着n 的增大而趋向于零。

依概率收敛是测度论中的依测度收敛概念在概率论中的特例。

定义

设$(X_n{)}_{n\ge 1}$ 是一个随机变量序列，$X$是一个随机变量。如果对于任意的正实数$ϵ>0$，都有：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathbb{P}(|X-X_n|\ge ϵ)=0$

那么称序列$(X_n{)}_{n\ge 1}$ 依概率收敛到$X$。

性质

依概率收敛是一种常见的收敛性质。依概率收敛比依分布收敛更强，比平均收敛则要弱。

如果一个随机变量序列依概率收敛到某一个随机变量，则它们也一定依分布收敛到这个随机变量。反过来则不然：只有当一个随机变量序列依分布收敛到一个常数的时候，才能够推出它们也依概率收敛到这个常数。

参见

• 大数定律
• 辛钦定理

参考来源

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